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Matemática Aplicada
(Séries de Fourier)

Miguel Moreira DMAT 20 de Dezembro de 2004

Séries de Fourier

Séries de trigonométricas
Definição Seja f uma função real definida em IR. Diz-se que f é uma função periódica se existe um número real T = 0 tal que, para todo o x ∈ IR se tem f (x + T ) = f (x).

O número T diz-se um período de f . Se T for o menor número positivo nestas circunstâncias diz-se período fundamental. Exemplo Quais os períodos fundamentais de cos x, cos nx, cos ωx e cos nωx? Observação f (x) = cos nx e cos x = cos (x + 2π).

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Séries de Fourier

Definição Chama-se série trigonométrica à série
∞ a0 (an cos nx + bn sen nx) , + 2 n=1 em que a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . são números reais que se designam por coeficientes da série. A expressão an cos nx+bn sen nx, n = 1, 2, . . . , diz-se a n-ésima harmónica da série, designando-se o polinómio trigonométrico Sk (x) k a0 (an cos nx + bn sen nx) , Sk (x) = + 2 n=1 por soma parcial de ordem k da série

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Séries de Fourier

Exemplo de série trigonométrica:
∞ 2 π2 n cos nx = π − 4 cos x + 4 cos 2x − 4 cos 3x + · · · (−1) +4 3 n2 3 22 32 n=1

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Determinação dos coeficientes de uma série trigonométrica
Definição Duas funções contínuas f, g : [a, b] −→ IR dizem-se ortogonais b em [a, b] se e só se a f (x)g(x)dx = 0. Proposição As funções 1, cos x, sen x, . . . , cos nx, sen nx, . . .são ortogonais em [−π, π], isto é, π −π π −π π −π π −π
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cos nx cos mxdx = 0, sen nx sen mxdx = 0, cos nx sen mxdx = 0, π −π

n=m n=m n, m = 0, 1, 2, . . . . π −π

Além disto, para n = 1, 2, . . . , tem-se
1dx = 2π, cos2 nxdx = π

e

sen2nxdx = π,
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Observação

1 1 cos (α − β) − cos (α + β) 2 2 1 1 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α − β) 2 2 1 1 cos α cos β = cos (α − β) + cos (α + β) 2 2 1 1 cos α sin β = sin (α + β) − sin (α − β) 2 2 sin α sin β =