Momento de Inércia de uma Esfera

Demonstração do Momento de Inércia da Esfera e da Casca
Alguns de vocês me pediram a demonstração do momento de inércia da esfera maciça e da casca oca. Tem duas maneiras equivalentes de fazer, eu vou mostrar as duas.
A primeira coisa a ser feita é introduzir um sistema de coordenadas mais conveniente para o problema. Trabalhar com (x,y,z) não é muito esperto nesse caso. É muito melhor escolher coordenadas que se simpliquem devido à simetria esférica do problema. No caso, claro, vamos trabalhar com coordenadas esféricas.
Para quem não lembra, qualquer ponto num espaço 3D pode ser representado pelas coordenadas (x,y,z) ou por algum outro conjunto de 3 números. Por exemplo, podemos utilizar os valores de (r,θ,φ) mostrados na gura abaixo. Aí r é a distância do ponto até a origem, θ é o ângulo que a reta PO (do ponto P até a origem) faz com o eixo z e φ o ângulo que a projeção da reta
PO no plano xy faz com o eixo x. É fácil vericar, por pura trigonometria, que x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ,

(1)

z = r cos θ.

1

Primeira Maneira

Uma maneira é calcular primeiro a esfera maciça e depois a casca. Para isso, precisamos do elemento de volume dV escrito em coordenadas esféricas.
1

Notamos que em coordenadas cartesianas dV é simplesmente dV = dxdydz.

Utilizando (1), e a regra da cadeia, dx =

∂x
∂x
∂x dr + dθ + dφ = ...,
∂r
∂θ
∂φ

fazendo o cálculo também de dy e dz , chegamos em (verique!) dV = r2 sin θdrdθdφ

(2)

(pergunta: um elemento de volume deve ter unidades de comprimento ao cubo. dxdydz possui, já que, se (x,y,z) forem medidos em metros, por exemplo, dV = dxdydz será em metros cúblicos. Isso continua válido em coordendas esféricas?)
Agora podemos calcular o momento de inércia de uma esfera maciça de densidade uniforme ρ = dm/dV = cte r2 dm = ρ
¯

I=

r2 dV
¯

(3)

Introduzimos uma barra para diferenciar o r que aparece no cálculo do momento de inércia da coordenada esférica r, que