Modelosedo1ordem

Modelos Matemáticos e Aplicações de EDOs de 1ª Ordem
Os modelos apresentados aqui servem apenas para dar uma pequena ideia da importância e utilização das equações diferenciais em problemas do mundo real. Para mais exemplos, pode-se consultar as referências relacionadas ao final do texto.

Dinâmica Populacional
Parece plausível esperar que a taxa de crescimento de uma população P seja proporcional à população presente naquele instante. Logo, o modelo matemático para o crescimento populacional é dado por dP = kP , dt onde k > 0 é uma constante de proporcionalidade.
Exemplo: Em uma cultura há inicialmente P0 bactérias e, uma hora depois, o número passa a ser 1,5 P0 . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.

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O modelo anterior não é adequado para o estudo de populações a longo prazo, pois o crescimento de uma população é eventualmente limitado por diversos fatores como, por exemplo, os ambientais. Uma população não pode crescer sempre e, por isto, foi proposto o modelo dP = (k − aP) P , dt a > 0 , k > 0 , conhecido como equação de Verhulst ou equação logística.

Exemplo: O modelo para o crescimento populacional dos EUA, entre 1790 e 1940, é dP = (0,0318 − 0,00017 P ) P , onde P é dado em milhões de pessoas e t é o dado por dt número de anos desde 1790. Se a população em 1790 era de 3,9 milhões de habitantes, determine, aproximadamente, a população dos EUA em 1850 e em 1940.

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Meia-Vida
Consideremos uma amostra de material que contém N (t ) átomos de um certo isótopo radioativo no instante t . Foi experimentalmente observado que uma fração constante destes átomos radioativos decairá espontaneamente (em átomos de outro elemento ou em outro isótopo) durante cada unidade de tempo. Consequentemente, a amostra se comporta como uma população com uma taxa de mortalidade constante mas sem ocorrência de nascimentos. Logo, obtemos dN = − kN , dt onde k > 0 depende do