Modelo matem tico Condu o de Calor Rafael da Cruz Satti

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Modelo

Figura 1: Fluxo de energia

Seja I o fluxo de energia atrav´es de uma sec¸ca˜o de a´rea A, a Lei de Fourier afirma que este fluxo ´e diretamente proporcional ao gradiente de temperatura.
I = K.

∂T
∂x

(1)

K ´e a condutividade t´ermica, seu valor ´e caracterizado pelo material.
T ´e a temperatura. x, dire¸c˜ao longitudinal em rela¸c˜ao `a barra.
Tomado um elemento da barra de comprimento igual a dx e e ´area igual a A, a energia que entra no elemento de volume da barra ´e igual a I.A, j´a a energia que sai deste elemento ´e I .A, a diferen¸ca entre a energia que entra e a energia que sai do elemento ´e a varia¸c˜ao de energia no elemento de volume.

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I.A − I.A =

∂I
.A.∂x
∂x

(2)

Associando esta energia `a quantidade de calor, obtem-se:
Q = (ρAdx)c

∂T
∂t

(3)

Onde; ρ ´e a densidade do material; c ´e o calor espec´ıfico do material.
Associando a equa¸c˜ao (1), (2) e (3), obtem-se uma equa¸ca˜o diferencial que descreve a condu¸c˜ao de calor:
∂ 2T
∂T
=α 2
∂t
∂x

α=

K ρc (4)

(5)

Para que a derivada de uma fun¸ca˜o em rela¸c˜ao a uma vari´avel seja igual proporcional `a derivada desta mesma fun¸ca˜o em rela¸c˜ao a outra vari´avel, necessariamente devem ser uma constante, ent˜ao temos:
∂T
∂ 2T
= α 2 = −ω 2
∂t
∂x

(6)

ω 2 ´e uma constante qualquer, e o sinal negativo assegura o fato de que o fluxo de energia diminui tanto com o tempo quanto com a distˆancia.
2

Para descrever o estado transit´orio de temperaturas, espera-se uma solu¸c˜ao da forma T (x, t) = F (x).G(t). Substituindo T(x,t) em (6):
1 ∂F (x)2
1 1 ∂G(t)
.
.
=
.
= −ω 2 α G(t) ∂t
F (x) ∂ 2 x

(7)

Tem-se duas equ¸co˜es da (7), a primeira ´e:
∂G(t)
+ αω 2 G(t) = 0
∂t

(8)

´ uma equa¸ca˜o diferencial homogˆenea de primeira ordem, a sua solu¸ca˜o
E
2
´e do tipo G(t) = G(0).e−αω t
A segunda equa¸c˜ao ´e:
∂F (x)2
+ ω 2 .F (x) = 0
∂ 2x

(9)

A solu¸c˜ao desta equa¸ca˜o ´e do tipo, F (x) = sen(ωr + δ).
Considerando as condi¸c˜oes de contorno, T (0, t) = Ta e T (L, t) = Tb ,
, onde Ta ´e a