metodos de prova

Métodos de Prova
Antonio Alfredo Ferreira Loureiro [e-mail] Olga Nikolaevna Goussevskaia [e-mail] UFMG/ICEx/DCC

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Introdução
• Objetivo: ter precisão de pensamento e linguagem para obter a certeza matemática a respeito de um determinado problema.
• Métodos de prova:
– Prova direta
– Contra-exemplo
– Divisão em casos
– Prova por contradição
– Prova por contraposição

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Prova direta: Definições
• É importante saber o significado de cada termo na afirmação matemática.
• Definição de par e ímpar:
– n é par ⇔ ∃ um inteiro k tal que n = 2k
– n é ímpar ⇔ ∃ um inteiro k tal que n = 2k + 1
• Exemplos:
(a) 0 é par?
Sim. 0 = 2 × 0.
(b) −301 é ímpar?
Sim. −301 = 2 × (−151) + 1.
(c) Se a e b são inteiros, 6a2b é par? Por que?
6a2b = 2 × (3a2b)
O conjunto dos números inteiros é “fechado” para as operações de +, − e ×. Logo, 3a2b é um número inteiro e, consequentemente, o seu dobro.
(d) Se a e b são inteiros, então 10a + 8b + 1 é ímpar. Por que?
Sim. 10a + 8b + 1 = 2 × (5a + 4b) + 1.
(e) Todo número inteiro é par ou ímpar.
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Prova direta: Definições
• Definição de primo e número composto:
– n é primo ⇔
∀ inteiros positivos r e s, se n = r × s, n > 1, então r = 1 ou s = 1.
– n é composto ⇔
∃ inteiros positivos r e s tal que n = r × s, e r = 1 e s = 1.
• Questão: ∀ inteiro n, n ≥ 2, n é um número primo ou um número composto?
Sim. Uma definição é a negação da outra.

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Provando proposições existenciais
• ∃ x ∈ D tal que Q(x) = V sse Q(x) é V para pelo menos um x em D.
• Possíveis métodos de prova:
(a) Ache/apresente x em D que faz Q(x) verdadeiro.
(b) Mostre como achar x que faz Q(x) verdadeiro.
§ Métodos de prova construtiva de existência.
• Exemplo:
Prove: ∃ um inteiro par n que pode ser escrito de duas formas