Metodos de Amostragem

1.Sistemas Autônomos e Estabilidade
1.1.Sistemas Autônomos
Considere o sistema não autônomo: x’(t) = f(t;x) onde: f : [0;∞) x D  Rn, f é contínua em t e localmente Lipschitz em x sobre o intervalo [0; ∞) x D, D é um domínio que contém a origem.
Supomos que xe é um ponto de equilíbrio, isto é: f(t, xe) = 0 ; ∀ t ≥ 0
Solução de sistemas autônomos depende de (t – t0)
Solução de sistemas não autônomos depende, em geral, de t e t0.
A estabilidade de xe depende, em geral, de t0

Definição: A origem xe = 0 é um ponto de equilíbrio estável do sistema x’ = f(t,x) se para cada Ɛ > 0 e ∀ t > 0 existe um δ ≜δ (Ɛ, t0) tal que:
|| x(t0) || < δ  || x(t) || < Ɛ , ∀ t ≥ 0

1.2.Estabilidade e Instabilidade
A solução x(xe, t) é instável se ela não é estável; no caso de instabilidade, sempre existe algum Ɛ > 0, e algum x0 numa vizinhança arbitrariamente pequena de xe , para o qual x (x0, t) deixa o tubo em qualquer momento. Neste caso, dizemos que a solução xe é um repulsor.
A solução x (xe, t) é assintóticamente estável se é estável no sentido de Liapunov e satisfaz: lim t -> ∞ ||x(x0, t) - x(xe , t)|| = 0. Neste caso, o ponto fixo xe é um atrator. Pontos fixos assintóticamente estáveis são também chamados sorvedouros.
Para o estudo de estabilidade iremos utilizar a definição do método de Liapunov ou chamado de método direto, como também é conhecido, por não necessitar conhecer a solução do sistema de EDO, é utilizado para tirarmos conclusões a respeito da estabilidade ou instabilidade de um ponto crítico do sistema de EDO's por meio de uma função auxiliar apropriada.
As funções de Liapunov são, de certa forma, motivadas pelo conceito de energia para sistemas não conservativos, onde a energia não é preservada pela trajetória, mas assume um comportamento monótono, decrescente, se o processo for dissipativo, e crescente, se houver absorção de energia.
Este método também pode ser aplicado no estudo de sistemas de equações que não são quase lineares. Para