metodo das forcas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: ENG2032 – TEORIA DAS ESTRUTURAS I
Prof. Luiz Álvaro de Oliveira Júnior

AULA 25 – MÉTODO DAS FORÇAS

Resolução do exercício da aula 24 com outro sistema principal
1) Utilizando o Método das Forças, traçar o diagrama de momentos fletores da viga hiperestática abaixo.

Numeração dos nós (esquerda para a direita): A, B, C e D.
Solução 0: Aplicação do carregamento externo
Reações de apoio
෍‫0 = ܨ‬
௬

ܸ஺ + ܸ஻ + ܸ஼ + ܸ஽ = 24

‫ܯ‬஻ = 0

4ܸ஺ − 6 ∙ 4 ∙ 2 = 0

ܸ஺ = 12 ݇ܰ

‫ܯ‬஼ = 0

4ܸ஽ = 0

ܸ஽ = 0 ݇ܰ

‫ܯ‬஻ = 0

8ܸ஽ + 4ܸ஼ = 0

ܸ஼ = 0 ݇ܰ

∴

ܸ஻ = 12 ݇ܰ

Diagrama de momentos fletores
‫ܯ‬஺ = 0 ݇ܰ ∙ ݉
‫ܯ‬஺஻ =

‫ܮݍ‬ଶ
8

‫ܯ‬஻ = 0 ݇ܰ ∙ ݉
‫ܯ‬஺஻ =

6 ∙ 4ଶ
8

‫ܯ‬஼ = 0 ݇ܰ ∙ ݉
‫ܯ‬஺஻ = 12 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஽ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

Solução 1: Aplicação do hiperestático X1 = 1 (binário unitário em B)

Reações de apoio
‫ܯ‬஻ = 0

4ܸ஺ + 1 = 0

ܸ஺ = −0,25 ݇ܰ

‫ܯ‬஼ = 0

4ܸ஽ = 0

ܸ஽ = 0 ݇ܰ

‫ܯ‬஻ = 0

8ܸ஽ + 4ܸ஼ + 1 = 0

ܸ஼ = −0,25 ݇ܰ

∴

ܸ஻ = 0,50 ݇ܰ

Diagrama de momentos fletores
‫ܯ‬஺ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஻ = 1 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஼ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஽ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

Solução 2: Aplicação do hiperestático X2 = 1 (binário unitário em C)

Reações de apoio
‫ܯ‬஼ = 0

4ܸ஽ + 1 = 0

ܸ஽ = −0,25 ݇ܰ

‫ܯ‬஻ = 0

4ܸ஺ = 0

ܸ஺ = 0 ݇ܰ

‫ܯ‬஼ = 0

8ܸ஺ + 4ܸ஻ + 1 = 0

ܸ஻ = −0,25 ݇ܰ

∴

ܸ஼ = 0,50 ݇ܰ

Diagrama de momentos fletores
‫ܯ‬஺ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஻ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஼ = 1 ݇ܰ ∙ ݉

‫ܯ‬஽ = 0 ݇ܰ ∙ ݉

Cálculo dos deslocamentos
1
1
ഥ
‫ߜ ∙ ܫܧ‬ଵ଴ = ‫ܯܯܮ‬ฬ = − 4 ∙ 12 ∙ 1 = −16
3
3
஺஻
‫ߜ ∙ ܫܧ‬ଶ଴ = 0
1
1
1
1
8
ഥ
ഥ
‫ߜ ∙ ܫܧ‬ଵଵ = ‫ܯܯܮ‬ฬ + ‫ܯܯܮ‬ฬ = 4 ∙ 1 ∙ 1 + 4 ∙ 1 ∙ 1 =
3
3
3
3
3
஺஻
஻஼
1
1
2
ഥ
‫ߜ ∙ ܫܧ‬ଵଶ = ‫ܯܯܮ‬ฬ = 4 ∙ 1 ∙ 1 =
6
6
3
஻஼
1
1
1
1
8
ഥ
ഥ
‫ߜ ∙ ܫܧ‬ଶଶ = ‫ܯܯܮ‬ฬ + ‫ܯܯܮ‬ฬ = 4 ∙ 1 ∙ 1 + 4 ∙ 1 ∙ 1 =
3
3
3
3
3
஻஼
஼஽
Com esses deslocamentos, obtemos o seguinte sistema de equações:
1 8 2 ܺଵ
−16
0
ቄ
ቅ+ ∙ቂ
ቃ൜ ൠ = ቄ ቅ
0