Meteoro

Trabalho de Meteorologia Dinˆamica I
Layrson de Jesus Menezes Gon¸calves

Jos´e Antˆonio Arav´equia

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
Abril, 2015

1

An´ alise de Escala na Equa¸c˜ ao Horizontal do Movimento

Considerando a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de quantidade de Movimento tem-se que
DU
1
= −2Ω × U − ∇p + g + fr
Dt
ρ
(b)

(a)

(d)

(1)

(e)

(c)

onde o termo (a) representa a derivada total da velocidade U, o termo (b) representa a for¸ca de Coriolis, o termo (c) ´e dado pelo gradiente de press˜ao, o termo (d) representa `a for¸ca da gravidade tal que g = −gk = g∗ + Ω2 R, com g ≈ 9.8m/s2 , i.e, a for¸ca da gravidade ´e a combina¸c˜ ao da for¸ca gravitacional e a for¸ca centr´ıfuga e o termo (e) representa a for¸ca de atrito.
Especificando termo a termo tem-se
U = (u, v, w) = ui + vj + wk

(2)

onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
DU
Du
Dv
Dw
Di
Dj
Dk
= i+ j+ k+u +v
+w
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt

(3)

Sabendo que
Di
Dt

Dj
Dt

u
(sin ϕj − cos ϕk) a cos ϕ u sin ϕ u
= (0,
,− ) a cos ϕ a
( u
u)
=
0, tan ϕ, − a a
=

u tan ϕ v = − i− k a )
( a v u tan ϕ
, 0, −
=
− a a
1

(4)

(5)

Dk
Dt

u v i+ j
(a u va )
, ,0
=
a a
=

(

Du i= Dt

Du
, 0, 0
Dt

(6)

)
(7)

Dv j= Dt

(
)
Dv
0,
,0
Dt

(8)

Dw k= Dt

(
)
Dw
0, 0,
Dt

(9)

(
)
u2 u2 =
0,
tan ϕ, − a a

Di u Dt

(

Dj v Dt

=

w

Dk
Dt

uv tan ϕ v2 , 0, − a a

)

( uw vw )
,
,0 a a

=

(10)

(11)

(12)

Substituindo Eqs. (7)-(12) tem-se
DU
Dt

(
=
+
=
=

) (
) (
) (
)
Du
Dv
Dw u2 u2
, 0, 0 + 0,
, 0 + 0, 0,
+ 0, tan ϕ, −
Dt
Dt
Dt
a a (
) (
)
2 uv tan ϕ v uw vw
−
, 0, −
+
,
,0
a a a a
(
)
Du uv tan ϕ uw Dv u2 vw Dw u2 v 2
−
+
,
+ tan ϕ +
,
−
−
Dt a a Dt a a Dt a a
)
(
)
(
)
(
2
Dv u vw Dw u2 v 2
Du uv tan ϕ uw
−
+ i+ + tan ϕ + j+ −
−
k
Dt
a a Dt a a
Dt
a a (13)

i
−2Ω × U =

j

k

0 cos ϕ sin ϕ

u v w
= (−2Ωw cos ϕ + 2Ωv sin ϕ, −2Ωu sin ϕ, 2Ωu cos ϕ)
2

(14)

1
∇p = ρ (
)
1 ∂p ∂p ∂p
, , ρ ∂x ∂y ∂z




 1 ∂p 1 ∂p 1 ∂p 


= 
,
,

 ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z 
(

px

py

1
1
1 px , py , pz ρ ρ ρ (
)
px py pz