Metais Terrosos

Integral Indefinida

Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo: dF ( x)
 2x dx Podemos descobrir qual a função F(x)?

F(x) = x2
Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada. x2 +1; x2 -

3 ; x2 + 5  ....

e mais geralmente, x2 + C onde C é uma constante qualquer.
Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num certo intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma constante C com a propriedade de que:
G(x) = F(x) + C para todo x no intervalo.
Ex.: F(x) = 1/3 x3 + 3
G(x) = 1/3 x3 + 3
Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da diferença G(x) – F(x) é igual a zero no intervalo considerado. dG( x) dF ( x)

 f ( x)  f ( x)  0 dx dx
Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim:
G(x) – F(x) = C ou G(x) = F(x) + C
Que é o que queríamos estabelecer:

Esse princípio permite-nos concluir que toda solução da equação

dF ( x)
 2x dx deve ter a forma x2 + C para alguma constante c.
O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função desconhecida cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada, então a função F(x) tal que dF ( x)
 f ( x) dx chama-se uma antiderivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar F(x) a partir de f(x) é a antiderivação (ou primitiva). Vimos que f(x) não precisa ter uma antiderivada única, mas se pudermos achar uma antiderivada F(x), então todas as outras terão a forma F(x) + c para vários valores da constante c. Por exemplo, 1/3x3 é uma antiderivada de x2 e a fórmula 1/3 x3 + c inclui todas as possíveis antiderivadas de x2.

Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

 f ( x)dx  F ( x)  c

O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma