memorial descritivo

Sistemas de Equações Lineares

4-1

Sistemas de Equações Lineares
Definição
Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si, na forma genérica, como: a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3

(1)

¡
¢

¢

an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn na qual aij (i, j = 1, 2, 3, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações, xi (i = 1, 2, 3, ..., n) são as n incógnitas e bi (i = 1, 2, 3, ..., n) os termos independentes.

Formulação Matricial
As equações representadas em (1) podem ser descritas na forma matricial como:
[A][x] = [b]

(2)

para o qual:

¤

¤

£
¥
£

¤

a n3

a1n 
 x1 
 b1 

x 
b  a 2n 
 2
 2
 , [x ] =  x 3  , [b] =  b 3  a 3n

 
 

 
 

x n 
b n  a nn 
 
 

(3)

¤

£

a13 a 23 a 33

£

 a11 a12
a
 21 a 22
[A] = a 31 a 32


a n1 a n 2

¤

¤

Nesta representação, a solução direta pode ser obtida fazendo-se:
[x] = [A]-1[b]

(4)

para a qual emprega-se os métodos de inversão de matrizes utilizados em cursos de Álgebra
Linear. O cálculo da matriz inversa pode ser feito através da propriedade da matriz identidade:
[I] = [A]-1[A]

(5)

Se os coeficientes da matriz inversa [A]-1 são as incógnitas do problema, então o cálculo desses coeficientes resume-se a encontrar a solução do seguinte sistema de equações:
Cálculo Numérico e Computacional

C.Y. Shigue

Sistemas de Equações Lineares

¡

¡

¡

a n2

a 1n  1 0 a 2 n  0 1
=
 
  a nn  0 0

¡

a 12 a 22

0
0
 = [I ]


1

¡

¡

¡

¢

¡

x n2

x 1n   a 11 x 2 n  a 21



x nn  a n1

¢

x 12 x 22

¢

 x 11
x
−1
[A ] [A ] =  21


x n1

4-2

(6)

¡

Assim, o