Mecânica dos Sólidos

1º trabalho MS1

n1 = { 0.208634 0.024827 0.977679} t1 = { 32.008248 19.565212 28.918384} n2 = {-0.024827 -0.999221 0.030672} t2 = {-8.250722 -11.637169 -17.845698} n3 = { 0.977679 -0.030672 -0.207855} t3 = { 33.873258 3.711978 17.923676}

a)
Se o produto interno entre os versores (dois a dois) for zero os versores serão perpendiculares entre si e concluímos que estes poderão constituir a base de um referencial cartesiano ortonormal.

Tensor das tensões no ponto P:

b)
Sabendo que
E que a matriz A corresponde à matriz formada pelos vectores n1,n2 e n3

c)

Sabemos ainda que: d)

Tensor das tensões principais:

A matriz que transforma o sistema de eixox x, y, z no referencial das direcções principais calcula-se da seguinte:

Para :

A quarta equação aparece pois considera-se cada vector n unitário.
Resolvendo o sistema:

Para :

Para :

Constrói-se a matriz pretendida:

e)

Vão-se calcular agora os invariantes a partir do tensor das tensões principais:

Como se comprova facilmente, os invariantes são idênticos.

g)

Na alínea d) calculou-se a matriz que é usada agora, para se calcularem as componentes de n no referencial principal, .

Substituindo tem-se:

Agora é necessário que se calculem os ângulos que n faz com os eixos principais:

O ponto I do diagrama fica perfeitamente definido através dos arcos FH e DB correspondentes aos versores do espaço que fazem ângulos α = 17.08º e = 81.51º respectivamente com os eixos x1* e x3*. Este ponto está associado ao plano normal a v. Medindo a abcissa e a ordenada de I, obtém-se a tensão normal e a tensão tangencial nesse plano, que confirmam os valores determinados anteriormente.

h)

Utilizando o diagrama de Mohr da alínea anterior conseguimos, facilmente, calcular o valor da tensão tangencial máxima no ponto P:

Deste modo a tensão tangencial máxima