Mecânica do contínuo

Mecânica dos meios contínuos

Notas de aula

Nelson Achcar

Lu COt ,s

L 5 & Ce-9,e o

Chapter 1
Cinemática dos Meios
Contínuos
1.1 Elementos de Matemática
1.1.1 Pontos , vetores , tensores
Nestas notas E indica o conjunto dos pontos do espaço da Geometria Euclidiana e V o conjunto dos vetores livres associados a E.

Cada par ordenado de pontos (A, B) determina um único vetor indicado por ÃB de tal forma que: quaisquer que sejam os pontos A, B, C
ÃB+BC+CA=Õ

(1.1)

edados AeEevEVexisteum único ponto B tal que ÃB=v

Exercicio 1. Verifique que AA = Õ e que BA = -ÃB
Sendo v = ÃB então, por definição , o ponto B é a soma do ponto A com o vetor v.

B=A+v

Uma base b de V é uma tripla ordenada (E,, é2i e3 ) tal que cada v E V se escreve de modo único como combinação linear dos éi:

1

V = v1e1 + v2t:2 + v3ê*3

Cada número real vi é chamado de coordenada de v na base b. Indicaremos por [VVb a matriz coluna constituida pelas coordenadas de v na base b:
V1
(V1b = V2
V3

J

A base b = (é, , é2, é*3) é ortonormal se cada ëi for unitário (comprimento igual a 1) e os éi forem mutuamente ortogonais.
O produto escalar do vetor 2c pelo vetor v é o número real

i.v =11 i 1111 v 11cos e

(1.4)

onde ú indica a norma (ou comprimento) de i e 0 E [0, ir] o ângulo entre ú e U. Se a base b = (ê1, t:2i é3) for ortonormal então
26.41 = u1v1 + U2V2 + U3V3

Fazendo ú = v em (3) e (4) segue-se que
I^ 2L II- (i .4L)1/2 = (u12 + u22 + ,ti32)1/2

Um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas em E é um par (O, b) onde O é um ponto de E e b é uma base ortonormal de V. Dado um ponto
X e E, OX E V e, portanto, OX se escreve como combinação linear dos éi:

OX = X1e1 + X2é2 + X3e3

2

Os escalares X1i X2, X3 são chamados coordenadas de X no sistema (O, b)
Uma vez fixado um sistema de coordenadas , podemos identificar cada ponto
X e E com a tripla (X1i X2, X3) e pensar E como o espaço R3. Neste caso escrevemos X =

(X1, X2,