Mecânica Clássica

1. Considere um caminho entre dois pontos sobre uma superfície esférica.
Escreva o comprimento entre dois pontos em termos de um funcional que dependa do raio a da esfera e dos ângulos polar θ e azimutal φ. Usando a equação de Euler, mostre que o menor caminho que une estes dois ponto é uma geodésica, ou seja, uma curva que se encontra em um plano que passe pela orgiem da esfera.
2. Mostrar que a geodésica sobre uma superfície de um cilindro circular é dada por uma curva helicoidal.
3. Determinar a curva helicoidal do problema anterior que passe pelos pontos (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Fazer um gráco desta curva em três dimensões.
4. Com relação à braquistócrona, mostrar que o tempo levado pela partícula mover-se até o ponto mínimo é π a/g , independentemente do ponto de partida. 5. Considere um funcional com uma variável dependente u e três variáveis independentes (x, y, z), isto é, u = u(x, y, z). Neste caso a função a ser minimizada é dada por x2 J= x1 f {u, ux , uy , uz ; x, y, z} dx dy dz ,

∂u onde ui = ∂xi .
Mostre que a condição de J extremo é satisteita se u satisfaz a equação de Euler

∂f
∂ ∂f
∂ ∂f
∂ ∂f
−
−
−
=0.
∂u ∂x ∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂uz

6. Mostre que a equação de Euler correspondente ao funcional f = f {y , y ; x} é dada por d2 dx2

∂f
∂y

−

d dx ∂f
∂y

+

∂f
=0,
∂y

assumindo que η(x1 ) = η(x2 ) = η (x1 ) = η (x2 ) = 0.
1

7. O princípio de Fermat arma que um raio de luz em um meio com índice de refração variável seguirá o caminho que torna mínimo o tempo de percurso. No caso bidimensional, mostre que tal caminho é obtido minimizando a integral
1 + (y )2

x2

J=

n(x, y)

x1

dx ,

onde n(x, y) é o índice de refração. Para o caso particular n = y , mostre que os raios de luz seguirão caminhos semicirculares.

2