Mecanica

Mecânica

Mecânica

Capítulo 1a
Cinemática

1

Mecânica

Sumário
„

Cinemática de massas pontuais
… Grandezas
„
„
„
„

Posição e trajectória
Deslocamento e distância
Velocidade e aceleração
Equações do movimento obtidas a partir do cálculo
…

„

Mecânica

cinemáticas: generalização 3D

Casos particulares de movimento rectilíneo
ƒ Uniforme
ƒ Uniformemente acelerado e retardado

Exemplos de aplicação

2

1

Mecânica

Posição e Trajectória
„

Ex. 3D

Sistema de coordenadas cartesianas: posição da massa pontual M relativamente à origem

r r (t ) = x (t ) iˆ + y (t ) ˆj + z (t ) kˆ r r = r = x2 + y2 + z2

„

Posição

„

Versores unitários

iˆ, ˆj , kˆ
3

Mecânica

Posição e Trajectória
„

Trajectória – lugar geométrico dos pontos ocupados por um ponto material P ao longo do tempo (Ex. 2D)

„

Deslocamento – grandeza vectorial, variação na posição,

r r r
∆r = r f − ri
Mecânica

4

2

Mecânica

Deslocamento e distância

5

Mecânica

Velocidade
„

Velocidade média

r r ∆r (t ) v méd =
∆t

Mecânica

6

3

Mecânica

Velocidade
„

Velocidade instantânea

r r ∆r (t ) v (t ) = lim
=
∆t →0 ∆t r r r (t + ∆t ) − r (t )
= lim
=
∆t → 0
∆t
r r dr (t ) d ˆ ˆ v (t ) =
=
xi + yj + zkˆ dt dt
= v iˆ + v ˆj + v kˆ

(

x

y

)

z

r v = v = v x2 + v y2 + v z2
7

Mecânica

Posição obtida pelo cálculo integral
„

Dado que

„

Então

r r dr (t ) v (t ) = dt t

r r r r (t ) = ∫ v ' (t ' ) dt ' + r (t 0 ) t0 ⎡t
⎤
⎡t
⎤
⎡t
⎤
r r (t ) = ⎢ ∫ v x (t ' ) dt ' + x(t 0 )⎥ iˆ + ⎢ ∫ v y (t ' ) dt ' + y (t 0 )⎥ ˆj + ⎢ ∫ v z (t ' ) dt ' + z (t 0 )⎥ kˆ
⎢⎣t0
⎥⎦
⎢⎣t0
⎥⎦
⎢⎣t0
⎥⎦ t r r r r (t ) − r (t 0 ) = ∫ v ' (t ' ) dt ' t0 Mecânica

8

4

Mecânica

Aceleração
„

Aceleração média

r r ∆r (t ) a méd =
∆t

9

Mecânica

Aceleração
„

Aceleração instantânea r r
∆v (t ) a (t ) = lim
=
∆t →0 ∆t r r v (t + ∆t ) − v (t )
= lim
=
∆t → 0
∆t
r r dv (t ) d a (t ) = v x iˆ + v y ˆj + v z kˆ
=
dt dt ˆ
ˆ
= a x i + a y j + a z kˆ r a = a = a x2 + a y2 + a z2

(

Mecânica

)

r r r dv (t ) d 2 r (t ) a (t ) =
=
dt