Mecanica

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N

Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.1. Definição Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene) a11 a 12 ⋯ a 1n a 2n A= a 21 ⋮ ⋮ a m1 a m2 ⋯ a mn Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas.

[

]

A ou [ A] ou  A ou ∥A∥ linha = rows coluna = columns

a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j A = a ij  para i = 1 m e j = 1 n

2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n m=1 A=[ 1 2 3 ] 1 A= 2 3

n=1 m=n

[]
1 2 3 A= 4 5 6 7 8 9

Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

[ ]
[1 5 9 ] [3 5 7 ]

Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + 1 m=n=1

Matriz unitária

A=[ 3 ]

Matriz diagonal

Os elementos são: a ij = 0 para i≠ j 1 0 0 A= 0 5 0 0 0 9

[ ]
1/20

José Eduardo Mautone Barros

08/03/07

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N

2.2. Tipos(cont.)

Matriz identidade É a matriz diagonal onde:

1 0 0 I 3= 0 1 0 0 0 1 a ij = 1 para i= j a ij = 0 para i≠ j

[ ]

Matriz diagonal superior (U) (“upper”) Matriz diagonal inferior (L) (“lower”) Matriz nula

Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

1 2 3 U= 0 8 5 0 0 2 2 0 0 L= 3 5 0 1 2 1

Os elementos acima da diagonal principal são nulos. Todos os elementos são nulos: a ij = 0 para todo i e j

[ ] [ ]
N=

[ ]
0 0 0 0

Matriz oposta A = -B

A é oposta de B se: a ij = −b ij para todo i e j

A=

B= Matriz idêntica A=B

[ [

1 −3 7 2

]
]

−1 3 −7 − 2

A é idêntica a B se: a ij = bij para todo i e para todo j

[ ][ ] a b 1 2 = c d 5 7

a=1 ; b=2 ; c=5 ; d =7

José Eduardo Mautone Barros

08/03/07

2/20

Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N

2.3. Operações Adição C=A+B As matrizes são do mesmo tamanho m x n. c ij = aij  bij Vi e V j

[ ][ ][ ]
1 2 4 7 5 9  = 1 3 5 8 6 11

[ 2 3