matrizes

SISTEMAS LINEARES:

1) EQUAÇÃO LINEAR: Chama-se de equação linear, nas incógnitas x1; x2; x3; ...; xn toda equação do tipo: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

Onde: a1; a2; ...; an são os coeficientes das incógnitas; x1; x2; ...; xn são as incógnitas; b é o termo independente.

OBS: O expoente das incógnitas deve ser um.

Exemplos:
São equações lineares:
a) 5x + 3y = 6
b) x - y - z + t + p = 4
c) 5x - 4y = 0
d) 3a + 4b - 5c = 6
Não são equações lineares:
a) x + 4y - 3zw = 0 (produto de duas incógnitas)
b) 1/x + 4/y - z = 3 (0 expoente de x e de y é -1)
c) 3a - 4b - = 3 (o expoente da variável c é 1/2)

2) SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR:

Uma equação linear admite infinitas soluções.
Exemplo: Seja a equação linear x - 2y = 4. Esta equação admite como solução os pares: (6,1); (0,-2); (4,0), ...; e infinitos outros que obedeçam a relação: x = 4 + 2y. Portanto a cada novo valor atribuído a y temos o correspondente x. A solução que representa as infinitas soluções pode ser representada da forma: S = {(4 + 2y; y)}. Y é dito, neste caso variável livre.

3) SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: É o conjunto de m (m  1) equações lineares, nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn.

OBS:
Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial.
Portanto as operações elementares sobre linhas das matrizes, serão utilizadas para a resolução de sistemas lineares.

EXEMPLO:
Seja o sistema linear:
FORMA MATRICIAL: . =

MATRIZ INCOMPLETA:
MATRIZ COMPLETA (ou Matriz Ampliada):

Onde a primeira coluna é formada pelos coeficientes da variável x, a segunda coluna pelos coeficientes da variável y; a terceira pelos coeficientes da variável z e, a quarta coluna são os termos independentes.

TEOREMA:
Toda matriz Amxn é linha-equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.

DEFINIÇÃO:
Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha