matrizes e determinantes

MATRIZES E DETERMINANTES - GABARITO

I) EXERCÍCIOS SELECIONADOS DO LIVRO “MATEMÁTICA” VOL 2 – DANTE

1) Determine, se existir, a inversa de .
Solução. Para que uma matriz possua inversa, é necessário que seu determinante seja diferente de zero. Calculando: det A = (1.2 – 3.0) = 2 ≠ 0. Logo possui inversa.
Encontrar A-1 significa encontrar a solução de: . Desenvolvendo a multiplicação e expressando o sistema, temos:
. Da 2ª equação, temos que: 2c = 0. Logo c = 0. Substituindo na 1ª equação, temos: a + 0 = 1. Logo a = 1. A 4ª equação fornece 2d = 1. Logo d = 1/2. A 3ª indica que b = -3d, logo b = -3/2.

Logo .

CONFERINDO:

2) Determine a matriz X tal que X – A + B = 0, sendo dados e
Solução. A equação X – A + B = 0 pode ser reescrita como: X = A – B. O exercício resume-se a encontrar a matriz resultante da subtração elemento a elemento entre A e B.

CONFERINDO:

3) Calcule det A, sendo:
a) A = (aij) uma matriz quadrada de 2ª ordem, com aij = i2 + ij.

Solução. Uma matriz quadrada de 2ª ordem possui 2 linhas e 2 colunas. Primeiro precisamos construir a matriz de acordo com a lei: aij = i2 + ij. a11 = (1)2 + (1).(1) = 2 a12 = (1)2 + (1).(2) = 3 a21 = (2)2 + (2).(1) = 6 a22 = (2)2 + (2).(2) = 8
Logo a matriz será:

b) A, a matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema na posição em que aparecem.
Solução. A matriz dos coeficientes será:

4) Sabendo que , e , calcule o número real x tal que x = 3a - 2b + c2.
Solução. Repare que os números estão entre barras e não colchetes. Além disso, as letras a,b, e c estão em minúsculas. Essa forma de apresentação indica que cada letra vale o determinante dos números. É preciso atenção para não confundir: representação de matriz com representação de determinantes.
Então, temos: a = (3).(-1) – (-2).(1) = - 1; b = (-1).(0) – (3).(2) = - 6; c = (-2).(-7) – (4).(4) = - 2. Logo x = 3(-1) – 2(- 6) + (- 2)2 = - 3 + 12 + 4 = 13.
5) Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determinantes:
Solução.
a) .