matrizes e determinantes

Matrizes, Determinantes e
Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares
EXERC´ICIOS RESOLVIDOS

Margarida Maria da Silva
Jos´e Manuel de Oliveira Pires

Janeiro, 2012

Conte´udo

1 Matrizes e Determinantes

1

2 Sistemas de Equa¸c˜ oes Lineares

25

iii

Conte´ udo [e-mail], [e-mail]

iv

Cap´ıtulo

1

Matrizes e Determinantes
1. Considere as seguintes matrizes de elementos reais:

1 −4
1


A =  −1
0 −2 
−1
4
3



−4 3


B= 1 1 
−1 1



−5 1


C= 0 1 
3 0


e D uma matriz quadrada tal que D T = −D.
a) Mostre que A ´e invert´ıvel e calcule a sua inversa partindo da matriz [A | I].
Resolu¸c˜
ao:




 r(A) = 3
1 −4
1 −4
1 1 0 0
−→
1 1 0 0




[A | I] =  −1
0 −2 0 1 0  l2 + l1  0 −4 −1 1 1 0  = dimens˜ao de A pelo que existe A−1
−1
4
3 0 0 1 l 3 + l1 0
0 4 1 0 1


 −→

1
0 0 −2 −4 −2
4 l1 − l3 4 −16 0 3 0 −1 l1 − l2 4 l1 

 41

1 
5
4
1  − 16 l2
4 l2 + l3  0 -16 0 5 4
 0 −16 0
1
−→
0
0 4 1 0
1
0
0 4
1
0
1
−→ l 4 3

1 0 0 − 21 −1 − 21

1 
5
− 14 − 16

 0 1 0 − 16
1
1
0 0 1
0
4
4


A−1

1


− 21 −1 − 12
 5
1 
=  − 16
− 14 − 16

1
1
0
4
4


Cap´ıtulo 1. Matrizes e Determinantes
b) Justifique que as linhas de B s˜ao linearmente dependentes e escreva a terceira linha como combina¸c˜ao linear das restantes.
Resolu¸c˜
ao:
B3×2 ⇒ R(B) ≤ 2 < no de linhas = 3, logo B tem linhas linearmente dependentes.
−1 1

= α

−1 1

=

−4 3

+ β

−4 α + β

−4 α + β = −1
⇔
3α+β = 1

1 1

3α +β

⇔
⇔

β = 4α− 1
⇔
3α+4α− 1 = 1

β= α= 1
7
2
7

Pode escrever-se a linha 3 como combina¸c˜ao linear das restantes da seguinte forma:
L3 =

2
1
L1 + L2
7
7

c) Calcule (A B − C)T .
Resolu¸c˜
ao:

 
 
−9
0
−4 3
1 −4
1

 
 

AB =  −1
0 −2 × 1 1  =  6 −5 
5
4
−1 1
−1
4
3



 
 