Matemática

O LOGOTIPO DA OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Paulo Cezar Pinto Carvalho
IMPA
( Nível Intermediário.

Você já prestou atenção ao logotipo da Olimpíada Brasileira de Matemática, presente na capa da EUREKA! e (em sua versão animada) na página da Internet da OBM? Os círculos coloridos são uma referência ao símbolo dos Jogos Olímpicos, que é formado por 5 anéis entrelaçados representando os continentes. No logotipo da OBM, porém, estes anéis estão dispostos de um modo tal que conhecimentos matemáticos são essenciais para sua construção. O que existe de difícil em dispor cinco anéis de modo que cada um seja tangente a dois outros e, além disso, tangente a dois círculos adicionais, um interior e outro exterior? Vejamos.

Tomemos dois círculos arbitrários, um contido no outro e posicionemos um novo círculo, de modo a ser tangente a ambos. A partir daí, os demais círculos estão definidos e a Fig. 1 mostra o que ocorre no caso geral: quando tentamos colocar o último círculo, vemos que a figura não fecha, ou seja, não é possível colocar um quinto círculo tangente a dois dos quatro círculos já colocados e aos dois iniciais.
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Fig. 1 - O quinto círculo não se encaixa

Será que é possível colocar o primeiro círculo colorido em outra posição, de modo a fazer com que a figura se feche exatamente? Pode-se ter uma idéia da resposta a esta pergunta observando a versão animada do logotipo. Observe que os círculos interno e externo são fixos, mas os coloridos assumem tamanhos e posições variáveis e parecem girar em torno deles (veja a Fig. 2 a seguir). Ou seja, a animação sugere que o fechamento da figura não depende da posição ou tamanho do primeiro círculo colorido, dependendo somente do tamanho e posição relativas dos círculos interno e externo!
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Fig. 2 - Os cinco círculos se encaixam para qualquer posição do primeiro

A explicação para estes fatos está em uma transformação geométrica dos pontos do plano