Matemática

Capítulo 1

Estudo do Sinal de uma Função
1.1 Introdução
Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico e médio. Daremos aqui uma maior cobertura a este tópico uma vez que se trata de um pré-requisito fundamental para se aprender o Cálculo Diferencial e Integral. Também introduzimos dois novos tipos de funções: as funções racionais e as funções algébricas.

1.2 Estudo do sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva.

1.2.1 Estudo do sinal de funções polinomiais
Como toda função polinomial tem como domínio todo o conjunto R e é sempre contínua1 , suas imagens só podem mudar de sinal em suas raízes reais.

Estudo do sinal de funções lineares
Neste caso o estudo de sinal é bastante simples, pois a função apresenta uma única raiz (obviamente real) e portanto muda de sinal uma única vez.

Exemplo 1.1 A única raiz da função polinomial y = 2x − 6 é x = 3. Assim (Figura 1.1)
• a função é positiva em imagem positiva); • a função é negativa em imagem negativa). x ∈ R|x > 3 x ∈ R|x < 3

(isto signica que qualquer valor de x maior que 3 resulta em uma (isto signica que qualquer valor de x menor que 3 resulta em uma

Estudo do sinal de uma função quadrática
Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráco da função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O Exemplo a seguir ilustra tais possibilidades.

Exemplo 1.2 As raízes da função polinomial y = x2 − 3x − 4 são x = −1 e x = 4.
1 Uma discussão detalhada de continuidade depende do conhecimento da teoria de limites (Veja Seção 2.5 e Apêndices B.2 e B.3 de George F. Simmons, Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, McGraw-Hill, São Paulo, 1987. Grosseiramente falando,