Matemática -funções

Matemática para Economia

1: Regras de Potenciação, Produtos Notáveis, Fatoração Quadrática e Divisão Polinomial

O cálculo de limites é feito principalmente através do uso de várias técnicas algébricas estudadas no ensino fundamental. Dedicaremos esta seção para recordarmos inicialmente as regras de potenciação, em seguida os produtos notáveis e encerrando com a divisão polinomial.

Regras de Potenciação

Sejam m, n ∈ Q e x, y ∈ R. Então: 1. xm xn = xm+n 2. xm xn

= xm−n
1 xn

3. x−n =

4. (xm )n = xm.n 5. (xy)m = xm y m 6. x m y

=

xm ym

7. Se x = 0, então x0 = 1 √ 8. n xm = xm/n
Produtos notáveis

Proposição 1: Dados a, b e c reais, então
i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; ii) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ; iii) a2 − b2 = (a − b)(a + b); iv) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ;
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v) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ; vi) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ); vii) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ).
Fatoração Quadrática

A expressão quadrática q = x2 − (a + b)x + ab, pode ser fatorada do seguinte modo: q = x2 − (a + b)x + ab = x2 − ax − bx + ab = x(x − a) − b(x − a) = (x − a)(x − b)

Portanto, a e b são as raízes da equação q = 0. Denotado por S = a + b a soma e por P = ab o produto das raízes de q , então podemos fatorar expressões do tipo x2 − Sx + P .

Exemplo 2: Fatore as expressões quadráticas abaixo:
1. x2 + 6x − 7 2. x2 − 10x + 21 3. 2x2 − 18x − 40

Resolução:
1. Neste caso, S = −6 e o produto é P = −7. Assim, as raízes são a = −7 e b = 1, de modo que x2 + 6x − 7 = (x − 1)(x + 6). 2. Neste caso, a = 3 e b = 7, de modo que x2 − 10x + 21 = (x − 3)(x − 7). 3. Colocando o fator 2 em evidência, segue que 2x2 − 18x − 40 = 2(x2 − 9x − 20) = (x + 4)(x + 5)
Divisão de Polinômios

Dividir o polinômio A(x) pelo polinômio B(x) não identicamente nulo signica obter dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que i) A(x) ≡ B(x)Q(x) + R(x); ii) gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0.

Observação 1: O símbolo "≡" é usado para expressar