Matemática financeira

Q1 – Uma empresa tem preço unitário de seu produto custando R$ 40,00 e assim vende 20 unidades. Caso baixe o preço para R$ 20,00 consegue vender 40 unidades. Sabendo-se que a função CT(x) = 5x + 250, pede-se: A) A função demanda. P(x); B) A função Receita. R(x); C) O gráfico da Receita R(x), identificando que quantidade maximiza a receita; D) O gráfico da função lucro L(x), determinando qual o lucro máximo.

Cálculo Item A. P(x) = a.x + b P  X 40  20 20  40 -40 = -20.a – b 20 = 40.a + b - 20 = 20.a a = -20/20 a=-1 logo, a função demanda é:

20 = -40 + b b = 20 + 40 b = 60

40 = 20.a + b . (-1) 20 = 40.a + b

Substituindo a na função; 20 = a.40 + b 20 = (-1).40 + b

P(x) = a.x + b P(x) = - 1.x + 60 P(x) = - x + 60

Cálculo Item B.

R(x) = p . x R(x) = (- x + 60) . x R(x) = - x2 + 60x

Cálculo Item C. R(x) = - x2 + 60x - x2 + 60x = 0 (-1) x2 - 60x = 0 x ( x – 60 ) = 0 x’ = 0 x” = 60

Cálculo do Vértice

V = x’ + x” 2 V = 0 + 60 2 V = 30
1

Gráfico R(x) = - x2 + 60x X X’ = 0 V = 30 X” = 60 R(x) 0 900 0 R(30) = -(30)2 + 60 (30) R(30) = - 900 + 1.800 R(30) = 900

R(X) 900

0

30

60

X

OBS: A quantidade que maximiza a receita é 30.

Cálculo Item D. L(x) = R(x) – C(x) L(x) = - x 2 + 60x – (5x + 250) L(x) = - x 2 + 60x – 5x - 250 L(x) = - x 2 + 55x – 250 ( -1 ) x - 55x + 250 = 0 x= -b± x = 55 ± x = 55 ± x = 55 ±
2

X’ = 55-45 = 5 2 x = 55 ± 45 2 X” = 55+45 = 50 2 Cálculo do Vértice V = x’ + x” 2 V = 5 + 50 2 V = 55 2

√-b² - 4ac
2.a

√(55)² - 4.1.250
2.1

√3025 - 1000
2

√2025
2

2

Gráfico X X’ = 5 V = 55 2 X” = 50 L(x) 0 506,25 0

L( x ) = - x2 + 55x - 250 L(55/2) = -(55/2)2 + 55 (55/2) - 250 L(55/2) = -(3025/4) + 3025/2 – 250/1 mmc = 4 L(55/2) = - 3025 + 6050 – 1000 4 L(55/2) = 2025 4

L(55/2) = 506,25

L(X) 506,25

0

5

10

27,5

50

X

OBS: O lucro máximo é R$ 506,25.

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