matemática exercícios

Capítulo 3
Derivada e Diferencial

Objetivos
Determinar a equação de retas tangentes a uma curva em um determinado ponto;
Resolver problemas que envolvam retas paralelas e normais à reta tangente de uma curva em ponto;
Calcular derivadas pela de…nição;
Derivar qualquer função, usando as regras de derivação;
Determinar as derivadas laterais;
Derivar funções compostas (regra da cadeia);
Derivar implicitamente uma função;
Encontrar a derivada de funções parametrizadas;
Determinar derivadas de ordem superior;
Interpretar geométrica e …sicamente derivadas e diferenciais;
Resolver problemas que envolvam diferenciais.

3.1

Introdução

O Cálculo Diferencial é o ramo da matemática que tem como foco o estudo do movimento e da variação deste movimento. Seu objeto de estudo são as funções. As idéias que usaremos aqui foram introduzidas no século XVII por Newton e Leibnitz.
A intenção de Cálculo Diferencial é o de medir os incrementos ou variações de grandezas, isto é, problemas do tipo: dada uma função, medir o seu incremento.
Exemplo 1:
a. A velocidade é a variação da distância em relação ao tempo, isto é, o incremento da distância na unidade de tempo é a velocidade.
b. O peso de um animal aumenta regularmente 5 quilos por mês, isto é, o seu incremento em quilos por mês é 5.

3.2

Reta Tangente

Sejam y = f (x) uma curva do R2 . Sejam P e Q dois pontos distintos desta curva, cujas coordenadas são (x0 ; f (x0 )) e (x1 ; f (x1 )), respectivamente. y s

Q

y 1 = f (x1 )

y 0 = f (x 0 )

P

y = f (x )

∆y

α

∆x

x0

x

x1

A inclinação da reta secante s, que passa pelos pontos P e Q, é ms = tg ( ) =

f (x1 ) x1 f (x0 )
=
x0

y
.
x

Sunpondo que o ponto P se mantém …xo e Q se move sobre a curva na direção de P . Assim, a inclinação da reta secante irá variar. À medida que Q se aproxima de P a inclinação da reta secante varia cada vez menos até atingir uma posição limite. Este limite é chamade de