Matemática Discreta

UNIVERSIDADE DE BRAS´
ILIA
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA -IE

´
ALGEBRA I
´
(Algebra Abstrata)
Texto de aula
Professor Rudolf R. Maier

Vers˜o atualizada a 2005

´
Indice

CAP´
ITULO I
Teoria Elementar dos Conjuntos pg. §

I.0

Fundamentos

..........................................

1

Algumas observa¸˜es sobre l´gica elementar co o
Conceitos primitivos e conjuntos
Igualdade entre conjuntos
Subconjuntos
Diferen¸a e complementar c Reuni˜o e interse¸˜o a ca
Uma propriedade fundamental do conjunto I
N
O conjunto das partes
O teorema binomial
O triˆngulo de Pascal a §

I.1

Produtos Cartesianos e Rela¸˜es co ...............

23

.................................

37

Produtos Cartesianos
Rela¸˜es
co
Rela¸˜o inversa ca Composi¸˜o de rela¸˜es ca co
Rela¸˜es de equivalˆncia co e
§

I.2

Aplica¸˜es (fun¸˜es) co co

Defini¸˜o e exemplos ca Composi¸˜o de aplica¸˜es ca co
A caracteriza¸˜o das aplica¸˜es entre as rela¸˜es ca co co Aplica¸˜es injetoras, sobrejetoras e bijetoras co Conjuntos equipotentes
A decomposi¸˜o can´nica de uma aplica¸˜o ca o ca O axioma da escolha
As ordens |Inj (m, n)| e |Sob (m, n)|

i

CAP´
ITULO II
´
Estruturas Algebricas
§

II.1

Defini¸˜es das mais importantes co estruturas alg´bricas e ..............................

65

Composi¸˜es internas co Estruturas alg´bricas e Propriedades especiais de estruturas
Centralizador e centro
Semigrupos e mon´ides o Elementos regulares, invers´ ıveis e grupos
§

II.2

Subestruturas, estruturas quocientes e homomorfismos
...................................

89

Subestruturas
Subestrutura gerada por um subconjunto
Rela¸˜es de congruˆncia e estruturas quocientes co e
Estruturas quocientes
Homomorfismos e Isomorfismos
O teorema geral do homomorfismo e estruturas simples
Associatividade, comutatividade, identidades e inversos sob homomorfismos
§

II.3

Grupos