Matemática aplicada

01. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:
Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto A R$ 35,00 R$ 0,50 B R$ 20,00 R$ 0,80 C 0 R$ 1,20
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?
b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?
Resolução:
De acordo com os textos, temos:
CA = 35 + 0,50 . x
CB = 20 + 0,80 . x
CC = 0 + 1,20 . x onde x é o número de minutos de uso. Logo:
a) para x = 25:
CA = 47,50
CB = 40,00
CC = 30,00
O plano mais vantajoso é o C.
b) CA = CB CA = CC
35 + 0,5 x = 20 + 0,8x 35 + 0,5x = 1,20x
0,3x = 15 0,7x = 35 x = 50 x = 50
∴ a partir de 50 minutos.
Graficamente:
C (R$)
6 0
3 5
2 0
5 0 x (min)

04. O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural n > 1 pode ser escrito como um produto de números primos. Além disso, se n = t t t 1 2 r 1 2 r pp p ... , onde p1, p2, ..., pr são números primos distintos, então o número de divisores positivos de n é d (n) = (t1 + 1) (t2 + 1) ... (tr + 1).
a) Calcule d (168), isto é, o número de divisores positivos de 168.
b) Encontre o menor número natural que tem exatamente 15 divisores positivos.
Resolução:
a) 168 2 168 = 23 . 31 . 71
84 2
42 2 Logo d (168) = (3 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 4 . 2 . 2 = 16 divisores positivos
21 3
7 7
1
b) para d (n) = 15 devemos ter 15 = 5 . 3 = (4 + 1) (2 + 1)
O menor n natural será obtido com as menores bases associadas aos maiores expoentes.
Assim: n = 24 . 32 = 16 . 9 = 144

06. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.