Matematica

ApostilA MAtEMáticA

NÚMEROs COMPLEXOs
I) Introdução
Sabemos que no conjunto dos número reais !R não é possível a radiciação com índice par de número negativo. Assim sendo, são impossíveis , no conjunto dos reais, operações tais como: Ex:

Notamos que os valores 1 , i , -1 e –i repetem-se de 4 em 4 potências. A maneira rápida de descobrir qual desses quatro valores é o resultado, quando n for maior que 3, consiste em dividir n por 4 e considerar o resto da divisão como sendo o novo expoente de i . Exemplos: a)

i 256 =

b)

i 4037 =

c)

i 245872021 =

TEsTEs DE AULA 74)(PUCRS) As raízes da equação x 2 + 2 x + 2 = 0 são : a) b) c) d) e)

Para sanar tal problema, houve a necessidade de ampliação do conjunto numérico até então conhecido, criando-se assim o conjunto dos números complexos (C) o qual contém todos os números conhecidos: N , Z ,Q,IeR

2 ± 2i − 1 ± 2i 2±i −1 ± i − 2 ± 2i

75) A expressão II) Unidade Imaginária
Denomina-se de unidade imaginária,e a representamos pela letra i, à raiz quadrada de -1 a) -1 b) ii c) 1 d) -1 +i e) 1-i

é igual a:

i = −1
Exemplos: a) Qual é o valor de
− 100 2

? ?

b) Quais são as raízes da equação

igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

76) (PUCRS) A potência [(1 + i )2 + (1 − i) 2 ]

205

é

III) Potências naturais de i

77) (UFRGS) A forma a + bi
a) 1/2 + 3/2 i b) –1/2 + 3/2 i c) –1/2 + 2/3 i d) –1/2 – 2/3 I e) 1/2 – 3/2 i

de z = (1 + 2i) / (1 − i) é:

78)(UFRGS) Sendo i a unidade imaginária, a soma dos termos da seqüência i0 , i1, i2, i3 , i4 , i5 ,  , i2007 é:

1

a) b) c) d) e)

–1. 0. 1. –i. i.

b). A representação gráfica chamamos de afixo ou imagem do número complexo. No plano de Argand-Gauss a seguir, represente graficamente os seguintes números complexos:

Z 1 = 2 + 3i Z 2 = 4 + i Z 3 = −2 + i

79)(UFRGS)O valor da expressão
a) b) c)

i

256

+ 7i − i 2i

4

Z 4 = −3 − 2i Z 5 = 4 − 2i Z 6 = 2i Z 7 = −3

d) e)

IV) Forma Algébrica de um