matematica

Sistemas Lineares
Equa¸
c˜ oes Lineares
V´arios problemas nas ´ areas cient´ıfica, tecnol´ogica e econˆ omica s˜ao modelados por sistemas de equa¸c˜oes lineares e requerem a solu¸c˜ ao destes no menor tempo poss´ıvel.
Defini¸
c˜ ao. Uma equa¸ c˜ ao linear em n inc´ognitas x1 , ..., xn ´e uma equa¸c˜ao da forma a1 x1 + ... + an xn = b, onde a1 , ..., an , b s˜ ao constantes reais.
Uma solu¸c˜ ao para a equa¸c˜ ao linear acima ´e um conjunto de n´ umeros reais s1 , s2 , ..., sn tais que quando substitu´ımos x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn , a equa¸c˜ ao ´e satisfeita.
Exemplo 1. Resolva as seguintes equa¸c˜ oes lineares:
a) 3x = 5
Esta equa¸c˜ ao tem como solu¸c˜ ao u
´nica x = 5/3, logo o seu conjunto solu¸c˜ao ´e S =

5
.
3

b) 0x = 1
Esta equa¸c˜ ao n˜ ao tem nenhuma solu¸c˜ao, pois n˜ao existe nenhum n´ umero real que multiplicado por 0 dˆe 1. Portanto
S = ∅.
c) 5x + 10y − 2z = 3
Isolamos qualquer uma das vari´ aveis, escrevendo ela em fun¸c˜ao das outras. Por exemplo, isolando x, temos 3
2
x = − 2y + z,
5
5 isto ´e, escrevemos x em fun¸c˜ ao de y e z. As vari´aveis y e z n˜ao dependem de nenhuma outra; elas s˜ao vari´ aveis livres. Logo, elas podem assumir quaisquer valores reais arbitr´arios, digamos y = α e z = β.
Portanto, o conjunto solu¸c˜ ao deste sistema ´e infinito e tem a forma
 3


 5 − 2α + 25 β,

 : α, β ∈ R . α S= 

 β 1

Ou seja, toda solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao tem esta forma, para algum valor de α e algum valor de β. Por exemplo, x = 53 , x = − 95 , y = 0, y = 1, e z = 0, z = −1, s˜ao solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao: a primeira corresponde a tomar α = 0 e β = 0, enquanto que a segunda corresponde a tomar α = 1 e β = −1.

Sistemas de Equa¸ c˜ oes Lineares
Um sistema de equa¸c˜ oes lineares ´e simplesmente um conjunto de equa¸c˜oes lineares.
Defini¸
c˜ ao. Um sistema de m equa¸ c˜ oes lineares em n vari´aveis (ou inc´ognitas) ´e um conjunto de