matematica

Geometria Espacial
COLÉGIO
VISÃO

Professor: Valdir

I - POLIEDROS

3. Número de vértices e de arestas por vértice

1. DEFINIÇÃO

São sólidos poligonais. geométricos

com

faces

2. Relação de Euler

V+F=A+2
Sendo:
V: número de vértices
F: número de faces
A: número de arestas Exemplo: figura ao lado.
Exemplo: Na figura a seguir, observes a relação:
V = 10
F= 7
A = 15

planas

A=

e

Sendo: m: número de arestas por vértice
F: número de faces
A: número de arestas

Exemplo: figura ao lado
Cubo: 8 vértices triédricos
F=8
n = 3 arestas por vértice
Assim:

A=

Assim: 10 + 7 = 15 + 2

V ×m
2

V ×m 8 ×3
=
= 12 arestas.
2
2

Generalizando, teremos:

A=

V1 × m1 + V2 × m2 + V3 × m3 ⋯
2

Sendo:
V1, V2, V3, ... número de vértices de cada tipo m1, m2, m3, ... número de vértice por face
A: número de arestas

2. Número de faces e de arestas por face

A=

F×n
2

Sendo: n: número de arestas por face
F: número de faces
A: número de arestas
Exemplo: figura ao lado
Cubo: 6 faces quadradas
F=6
n = 4 arestas por face

A=

F×n 6× 4
=
= 12 arestas
2
2

Generalizando, teremos:

A=

F1 × n1 + F2 × n2 + F3 × n3 ⋯
2

Sendo:
F1, F2, F3, ... número de faces de cada tipo n1, n2, n3, ... número de arestas por face
A: número de arestas

Exemplo: Seja o poliedro que possui:
1 vértice pentaédrico
5 vértices tetraédricos
5 vértices triédricos
A=

1× 5 + 5 × 4 + 5 × 3 40
=
= 20 arestas
2
2

Assim

4. Soma dos ângulos internos das faces

S = (V – 2).360°
Sendo:
V: número de vértices do poliedro
S: Soma dos ângulos internos de todas as faces
Exemplo: Calcule a soma dos ângulos das faces do poliedro da figura. Exemplo: Seja o poliedro que possui:
5 faces quadrangulares
2 faces pentagonais
Assim:

A=

5 × 4 + 2 × 5 30
=
= 15 arestas
2
2

Resolução:
S = (V – 2).360° = (10 – 2).360° = 8.360° = 2. 880°

5. Poliedros de Platão
São poliedros que satisfazem as