Matematica

Universidade Federal da Bahia - UFBA ´ Instituto de Matematica - IM
´ Curso de Analise Real Vol 1, Elon Lages Lima Exerc´ ıcios Resolvidos

´ Analise Real

Belmiro Galo da Silva

Salvador-Bahia Julho de 2010

Cap´ ıtulo 1
Quest˜o 1 a
Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades : 1o X ⊃ A e X ⊃ B 2o Se Y ⊃ A e Y ⊃ B ent˜o Y ⊃ X. a Prove que X = A∪B. Demonstra¸˜o. ca “⊃” A∪B⊂X Seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ A ou ω ∈ B Se ω ∈ A, ent˜o ω ∈ X pois A ⊂ X pela 1a propriedade a Se ω ∈ B, ent˜o ω ∈ X pois B ⊂ X pela 1a propriedade a Com isso, conclu´ ımos que qualquer que seja ω ∈ A ∪ B, temos que ω ∈ X Portanto A ∪ B ⊂ X “⊂” X⊂A∪B Seja Y = A ∪ B, com isso, temos: A ⊂ Y, pois A ⊂ A ∪ B B ⊂ Y, pois B ⊂ A ∪ B Portanto pela 2a propriedade, temos que X ⊂ Y Ou seja, X ⊂ A ∪ B ∴ De “⊃”e de “⊂”conclu´ ımos que X= A ∪ B.

Quest˜o 3 a
Sejam A, B ⊂ E. Prove que A ∩ B =∅ se, e somente se, A ⊂ Bc . Prove tamb´m e que A ∪ B= E se, e somente se, Ac ⊂ B. a) A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ Bc b) A ∪ B = E ⇔ Ac ⊂ B Demonstra¸˜o. ca a)“⇒” A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊂ Bc Vamos supor que A ⊂ B c . Seja x ∈ A, por defeni¸ao de complementar x ∈ Ac . c˜ 2

Pela suposi¸ao x ∈ B c e pela defini¸ao de complementar x ∈ B. c˜ c˜ Com isso, temos que x ∈ A e x ∈ B. Logo x ∈ A ∩ B. Conclu´ ımos que A ∩ B = ∅ “⇐” A ⊂ Bc ⇒ A ∩ B = ∅ Seja x ∈ A, temos que x ∈ Bc e por defini¸ao de complementar x ∈ B, com isso x ∈ A e c˜ x ∈ B. Logo, x ∈ A∩ B. Como o x ´ arbritr´rio. A ∩B = ∅. e a ∴ De “⇒”e de “⇐”conclu´ ımos que A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ B c . b) “⇒” A ∪ B = E ⇒ Ac ⊂ B Vamos supor que Ac ⊂ B. Seja x ∈ Ac . Por defini¸ao de complementar x ∈ A. c˜ Pela suposi¸ao x ∈ B, por defini¸ao de complementar x ∈ Bc . c˜ c˜ Como, x ∈ A e x ∈ B, x n˜o pertence a uni˜o dos conjuntos pois ele n˜o ´ elemento de a a a e nenhum dos dois conjuntos, e portanto a uni˜o ´ diferente de E, que ´ o espa¸o todo. a e e c Com isso, A ∪ B = E. “⇐” Ac ⊂ B ⇒ A ∪ B = E Vamos dividir essa implica¸ao em dois casos: c˜ (i) para A ∪ B ⊂ E