Matematica para engenharia

Matemática para Engenharia IIIRESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM DE INTEGRAL DE LINHA 1) Calcule o escoamento do fluído cujo campo de velocidades é dado por F  x y2 da elipse x 2  4  1. O escoamento é a integral de F ao longo da ELIPSE. dados: cos 2 t  sin 2 t  1 y i  xj, ao longo

Þ cos t sin tdt 

1 4

cos 2t cos t, 2sent ; 0
2

parametrização da elipse escoamento :

t

2 sin t, 2 cos t dt  Þ
2 0

Þ0

2

Þc F  dR  Þ 0 cos t 2 sin t, cos t  2 cos t sin t dt  2 Þ dt  0  4  4 0

cos t sin t  2 dt 

2) Desenhe o caminho cujas parametrizações são dadas a seguir. Em cada caso, especifique os eixos, o ponto inicial e final do caminho e seu sentido (coloque flechas no desenho). Faça cada desenho num sistema de coordenadas. i) C 1  1 t, 1 t 2 ; 1 t 1 2 arco da parábola y  2x x de (0,0) à (2,0)
1.0

y

0.5

0.0

0.0

0.5

1.0

1.5

x

2.0

desenhe as flechas do sentido do percurso do caminho ii) C 2  2 cos t, 3sent ,
 2

t

 2

arco de elipse no sentido de (0,-3) à (0,3)

1

y

3 2 1 0 -1 -2 -3 1 2

x

desenhe as flechas do sentido do percurso do caminho iii) C 3  cos 3t, sen3t ; 0 t
 3

arco da circunferencia de centro na origem e raio 1, de (1,0) à (-1,0). iv) C 4  3, t, 0 ; 0 2 Þ 3, 2, t ; 0 1 Þ 3t, 2t, t ; 1 0

t

t

t

união dos segmentos de reta, unindo os pontos (3,0,0) à (3,2,0) ; (3,2,0) à (3,2,1) e (3,2,1) à (0,0,0).

2

3)Calcule a integral do campo F x, y  y 2 i  x j , em C que é o arco da parábola x  4 y 2 do eixo y ao eixo x, nesse sentido. da maneira como esta enunciado o caminho pode ser entendido como o arco da parábola no desenho abaixo:

0

1

2

3

x

4

y

0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0

e nesse caso a parametrizaçao é: 4 t2, t ; 2 t 0 assim, a integral de linha resultada em: 0 Þ 2t 3  4 t 2 dt  40 3
2

ou, o caminho pode ser entendido como o arco da mesma parábola no 1o quadrante:

y

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

0

1