MAT011 7773 EX 005

´
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA
Geometria Anal´ıtica
´
ˆ
´
CAPITULO 3 - CONICAS e QUADRICAS
1. As cˆonicas s˜ao curvas planas obtidas pela se¸c˜ao do cone circular reto por planos. De acordo com a posi¸ca˜o do plano seccionador a curva obtida pode ser: elipse, par´abola, circunferˆencia ou hip´erbole.
3.1 ELIPSES
2. Defini¸c˜ ao: Sejam c um escalar positivo, F1 e F2 pontos planos. Considere a > c. A elipse de distˆancia focal d(F1 , F2 ) = 2c ´e o lugar geom´etrico dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a.
3. Sejam reais a, c tais que a > c > 0. Fa¸ca o esbo¸co e dˆe a equa¸c˜ao reduzida da elipse
F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0).
4. Dˆe os elementos b´asicos de uma elipse.
5. Escreva as equa¸co˜es alg´ebricas do segundo grau em x e y que a elipse em cada item deve satisfazer: (a) F1 = (0, −6), F2 = (0, 6) e eixo maior vale 14.
√
(b) F1 = (−1, 0), F2 = (1, 0) e um dos v´ertices ´e (0, 2).
(c) F1 = (0, −c), F2 = (0, c) e a soma dos raios focais ´e 2a.
(d) F1 = (−1, 2), F2 = (3, 2) e a soma dos raios focais ´e 6.
(e) F1 = (−1, −1), F2 = (1, 1) e a soma dos raios focais ´e 4.
(f) F1 = (−3, 2), F2 = (−3, 6) e a = 4.
(g) F1 = (−1, −1), F2 = (1, 1) e a = 3.
(h) F1 = (0, 0), F2 = (1, 1) e a = 3.
(i) O centro ´e (0, 0), os focos est˜ao em OX, o eixo menor mede 6 e a distˆancia focal ´e 8.
(j) O centro ´e (0, 0), os focos est˜ao em OY , o eixo maior mede 10 e a distˆancia focal ´e 6.
(k) Os focos s˜ao (0, 6) e (0, −6) e o eixo maior mede 34.
(l) Os focos s˜ao (5, 0) e (−5, 0) e um dos v´ertices `e (−13, 0).
√
(m) Os focos s˜ao (−1, 0) e (1, 0) e um dos v´ertices ´e (0, 2).
(n) As extremidades do eixo menor s˜ao (0, 4) e (0, −4) e o comprimento da corda que passa por F2 perpendicular a distˆancia focal ´e 8/5.
√
√
(o) Os focos s˜ao (0, 2 3) e (0, −2 3) e o comprimento da corda que passa por F2 perpendicular a distˆancia focal ´e 2.
√
√
(p) O centro ´e a origem, (0, − 40) ´e um foco e o ponto ( 5, 14/3) pertence a elipse.
´
3.2 ESTUDO DAS HIPERBOLES
1

Defini¸c˜