Martematica

Capítulo 1

Retas e Funções Lineares
1.1 A equação de uma reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta denida pelos pontos A = (x0 , y0 ) e B = (x1 , y1 ) da Figura 1.1(a); um ponto qualquer P = (x, y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).

T

T y y1 Aq

Bq

y1
... . Aq .. θ . .

Bq

P q

y0

y0 x1

x0

E

qM x1 qN x x0

E

(a) Reta pelos pontos A e B

(b) Reta pelos pontos A, B e P

Figura 1.1: Denindo a equação de uma reta Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes (neste caso uma semelhança do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever

y − y0 y1 − y0 = . x − x0 x1 − x0
Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão

(1.1)

y1 − y0 x1 − x0 é constante1 . Tal constante é chamada de coeciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coeciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação ∆y das y−y Por outro lado a razão x−x0 não é constante, uma vez que x e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e 0 y são valores incógnitos.

1 Observe que (x , y ) e (x , y ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim x , y , x e y são números conhecidos. 0 0 1 1 0 0 1 1

1

CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas as abcissas; assim

2

a=

∆y y1 − y0 = ∆x x1 − x0

ou

a=

∆y y0 − y1 = . ∆x x0 − x1

(1.2)

Substituindo o valor do coeciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos

y − y0 = a, x − x0 ou, mais apropriadamente,

(1.3)