m12parte1

Elementos de Matem´tica Finita (2012-2013) a Exerc´ ıcios Resolvidos
1. Verificar que os conjuntos
∅,

{∅},

{{∅}},

{∅, {∅}}

s˜o todos diferentes. a Resolu¸˜o: ∅ = {∅} uma vez que o segundo conjunto tem um elemento, o ca conjunto vazio ∅, enquanto que o primeiro ´ o conjunto vazio e portanto n˜o e a tem elementos. O mesmo racioc´ mostra que cada um dos outros conjuntos ınio ´ diferente do conjunto vazio. e Deduz-se que tamb´m {∅} = {{∅}}, pois cada um dos conjuntos tem um s´ e o elemento e esses elementos s˜o diferentes. E do mesmo modo cada um destes a conjuntos ´ diferente de {∅, {∅}}, j´ que este ultimo cont´m um elemento que e a
´
e n˜o est´ em cada um deles. a a
2. Mostrar que para quaisquer conjuntos X, Y e Z
X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z);

X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z).

Resolu¸˜o: Seja x ∈ X ∩ (Y ∪ Z) e suponhamos que x ∈ (X ∩ Y ); como ca / x ∈ X isso significa que x ∈ Y . Mas x ∈ Y ∪ Z logo tem que pertencer a (pelo
/
menos) um dos conjuntos e portanto x ∈ Z, donde se conclui que x ∈ X ∩ Z ⊂ (X ∩ Y ∪ (X ∩ Z) e X ∩ (Y ∪ Z) ⊂ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Por outro lado, se x ∈ X ∩ Y ent˜o x ∈ X e x ∈ Y ∪ Z, logo x ∈ X ∩ (Y ∪ Z). a Se x ∈ X ∩ Z o racioc´ ´ idˆntico e fica assim provada a outra inclus˜o. ınio e e a A segunda igualdade demonstra-se de modo semelhante.
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3. Defina-se a diferen¸a sim´trica de dois conjuntos como c e
B =A\B∪B\A

A
Mostrar que
• (A

B)

• A ∩ (B

C=A

(B

C) = (A ∩ B)

C)
(A ∩ C)

Resolu¸˜o: Podemos tomar A, B e C como subconjuntos de um conjunto ca U (basta, por exemplo, definir U = A ∪ B ∪ C). Define-se ent˜o Ac = U \ A. a Com essa nota¸˜o ca A B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B);
Temos ent˜o, usando as chamadas leis de Morgan a (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,

(A ∪ B)c = Ac ∩ B c ,

bem como o exerc´ anterior, ıcio C = [((A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B)) ∩ C c ] ∪ [((A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B))c ∩ C] =
= [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c )] ∪ [(A ∩ B c )c ∩ (Ac ∩ B)c ∩ C] =