lógica

Cap´ıtulo 10

A L´ ogica de Primeira Ordem
A L´ ogica de Primeira Ordem: A necessidade de uma linguagem mais expressiva
O c´alculo proposicional possui limita¸c˜ oes com respeito a codifica¸c˜ao de senten¸cas declarativas. De fato, o c´alculo proposicional manipula de forma satisfat´oria componentes das senten¸cas como n˜ ao, e , ou, se . . . ent˜ ao, mas certos aspectos l´ogicos que aparecem em linguagens naturais ou artificiais s˜ao muito mais ricos. Por exemplo, como expressar coisas do tipo: “Existe ...” e “Para todo . . . ” na l´ogica proposicional?
Exemplo 7. Considere a seguinte senten¸ca declarativa:
Todo estudante ´e mais jovem do que algum instrutor.
Na l´ ogica proposicional podemos identificar esta senten¸ca com uma vari´ avel proposicional p. No entanto, esta codifica¸c˜ ao n˜ ao reflete os detalhes da estrutura l´ ogica desta senten¸ca. De que trata esta senten¸ca?
• Ser um estudante.
• Ser um instrutor.
• Ser mais jovem do que algu´em.
Para expressar estas propriedades utilizaremos predicados. Por exemplo, podemos escrever estudante(ana) para denotar que Ana ´e uma estudante. Da mesma forma podemos escrever instrutor(marcos) para denotar que Marcos ´e um instrutor. Por fim, podemos escrever jovem(ana,marcos) para denotar que Ana ´e mais jovem do que Marcos. Nestes exemplos, estudante, instrutor e jovem s˜ ao exemplos de predicados.
Ainda precisamos codificar as no¸co˜es de “todo” e “algum”. Para isto introduziremos o conceito de vari´ avel. Vari´ aveis ser˜ ao denotadas por letras latinas min´ usculas do final do alfabeto: u, v, w, x, y, z (possivelmente acrescidas de sub-´ındices x1 , x2 , . . .). Vari´aveis devem ser pensadas como “lugares vazios” que podem ser preenchidos (ou instanciados) por elementos concretos, como jo˜ao, maria, etc. Utilizando vari´ aveis podemos especificar o significado dos predicados estudante, instrutor e jovem de uma maneira mais formal: estudante(x): instrutor(x):
jovem(x,y):