Lógica proposicional

Lógica Proposicional |
1 A Linguagem £ da Lógica Proposicional
A Lógica Proposicional é construída a partir de uma linguagem artificial que chamaremos de “a Linguagem £”. Como toda linguagem, a Linguagem £ é constituída de uma sintaxe e de uma semântica. A sintaxe de uma linguagem preocupa-se com o vocabulário inicial e com regras de formação de “expressões" bem-formadas a partir deste vocabulário. A semântica está preocupada com a significação destas expressões bem-formadas.
2 A Sintaxe
O vocabulário (inicial) de nossa Linguagem £ é constituída dos seguintes símbolos: 1. Letras Proposicionais (infinitas): p1, p2, p3, p4, ... 2. Conectivos Lógicos: ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção), → (implicação material) e ↔ (equivalência material, bi-implicação). 3. Sinais de Pontuação: ( , ).
Definição 1 (Fórmula) Fórmula (da Linguagem £) é toda sequência finita contendo os símbolos (e apenas estes) do nosso vocabulário (inicial).
Exemplos de fórmulas: p1( , ∧ p20 ↔ (p10000000 , (p1 p2 ∨ ¬ p67)
Exemplos de não-fórmulas: q1 , ∼ p2 , q1 & q2
Definição 2 (Fórmula bem-formada) Uma fórmula bem-formada (da linguagem £) é toda fórmula que satisfaz as seguintes condições: 1. toda letra proposicional é uma fórmula bem-formada1, isto é, p1, p2, p3, p4,... são fórmulas bem-formadas. 2. Se α for uma fórmula bem-formada, então (¬α) será bem formada2. 3. Se α e β forem fórmulas bem-formadas, então (α∧β) será uma fórmula bem-formada. 4. Se α e β forem fórmulas bem-formadas, então (α∨β) será uma fórmula bem-formada. 5. Se α e β forem fórmulas bem-formadas, então (α→β) será uma fórmula bem-formada. 6. Se α e β forem fórmulas bem-formadas, então (α↔β) será uma fórmula bem-formada. 7. Nada mais é fórmula bem-formada.
Exemplos de fórmulas bem-formadas: p300000 , (p1→ p100) , (¬ p200)
((p1 ∨ p2)↔ (p5 → p9))
Exemplos de fórmulas não-bem-formadas: p1(3 , ¬ p1 , p1 ∨ p3
, (((¬ p1)∨ p1)→ p3
3 A