Lógica matemática

Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO Departamento de Matemática – DEMAT

Trabalho de Lógica Matemática
Este Trabalho foi elaborado pela aluna Fernanda Mossolin, para a obtenção de nota na matéria de Lógica Matemática. Deve ser entregue ao Professor Dolcimar Lopes de Quevedo no dia 17 de Outubro de 2011.

Guarapuava, 2011

Álgebra das proposições
Equivalência Lógica
Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Indica-se que a proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ...) com a notação P (p, q, r, …) ⇔ Q (p, q, r, ...) Em particular, se as proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) são ambas tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes.

Equivalências Notáveis
Propriedades da Conjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade). (a) Idempotente : p ∧ p ⇔ p p V F p∧p V F p∧p↔p V V

(b) Comutativa : p ∧ q ⇔ q ∧ p p V V F F q V F V F p∧q V F F F q∧p V F F F p∧q↔q∧p V V V V

(c) Associativa : (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

p

q

r

p∧q

(p ∧ q) ∧ r q ∧ r p ∧ (q ∧ r)

(p ∧ q) ∧ r ↔ p ∧ (q ∧ r)

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

V V F F F F F F

V F F F F F F F

V F F F V F F F

V F F F F F F F

V V V V V V V V

As colunas 5 e 7 são equivalentes (d) Identidade : p ∧ t ⇔ p e p ∧ c ⇔ c p V F t V V c F F p∧t V F p∧c F F p∧t↔p V V p∧c↔c V V

As colunas equivalentes são 1, 4 e 3, 5. Propriedades da Disjunção Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade). (a) Idempotente : p ∨ p ⇔ p

p V F

p∨p V F

p∨ p↔p V V

(b) Comutativa : p ∨ q ⇔ q ∨ p

p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

q∨p V V V F