Logica proposicional

L´ogica Proposicional

Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira

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1 Introdu¸c˜ao

A l´ogica proposicional ´e um formalismo matem´atico atrav´es do qual podemos abstrair a estrutura de um argumento, eliminado a ambig¨uidade existente na linguagem natural. Esse formalismo ´e composto por uma linguagem formal e por um conjunto de regras de inferˆencia que nos permitem analisar um argumento de forma precisa e decidir a sua validade [1,2,3].

Informalmente, um argumento ´e uma seq¨uˆencia de premissas seguida de uma conclus˜ao. Dizemos que um argumento ´e v´alido quando sua conclus˜ao ´e uma conseq¨uˆencia necess´aria de suas premissas. Por exemplo, o argumento

Sempre que chove, o trˆansito fica congestionado.

Est´a chovendo muito.

Logo, o trˆansito deve estar congestionado.

´e v´alido; pois sua conclus˜ao ´e uma conseq¨uˆencia necess´aria de suas premissas.

1.1 Proposi¸c˜oes

Uma proposi¸c˜ao ´e uma declara¸c˜ao afirmativa `a qual se pode associar um valor verdadeiro ou falso, mas n˜ao ambos. Por exemplo, “O Brasil fica na Am´erica” ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira, enquanto “A lua ´e de queijo” ´e uma proposi¸c˜ao falsa. A proposi¸c˜ao ´e o elemento b´asico a partir do qual os argumentos s˜ao constru´ıdos, sendo tamb´em o principal objeto de estudo na l´ogica proposicional.

2 Sintaxe da l´ogica proposicional

Os s´ımbolos usados na l´ogica proposicional s˜ao as constantes ⊥ (falso) e > (verdade), os s´ımbolos proposicionais (i.e., letras min´usculas do alfabeto latino, possivelmente indexadas) e os conectivos l´ogicos ¬ (n˜ao), ∧ (e), ∨ (ou) e → (ent˜ao). S˜ao f´ormulas bem-formadas na l´ogica proposicional:

– as constantes ⊥ e > (valores-verdade);

– os s´ımbolos proposicionais;

– e, se α e β forem f´ormulas bem-formadas1, ¬α, α ∧ β, α ∨ β e α → β.

1 Usamos letras min´usculas do alfabeto grego para denotar f´ormulas gen´ericas.

2 S. L. Pereira

Uma f´ormula da forma ¬α ´e denominada nega¸c˜ao da f´ormula α e dizemos