Logaritmos

Capítulo 6

Logaritmos
6.1 Denição de Logaritmo
Denimos aqui o logaritmo como o inverso da exponencial, no seguinte sentido:

ax = b ⇐⇒ loga (b) = x.

(6.1)

Na equação loga (b) = x temos a seguinte nomenclatura

• a é a base do logaritmo;

• b é o logaritmando;

• x é o logaritmo.

Condição de Existência de loga (b)
Como na exponencial ax = b a base satisfaz a > 0 e a = 1, temos que b > 0 ∀ x ∈ R. Assim, para loga (b) também devemos ter

• a > 0 e a = 1;
• b > 0, isto é, só existe logaritmo de números positivos.

Conseqüências da Denição
Como conseqüência da Denição (6.1) temos os seguintes resultados (a, b, c ∈ R∗ , a = 1 e n ∈ R):
(i) loga (1) = 0, pois a0 = 1;

(iv) loga (b) = loga (c) ⇒ b = c

(ii) loga (a) = 1, pois a1 = a;

(v) se a > 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b > c

(iii) loga (an ) = n, pois an = an ;

(vi) se 0 < a < 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b < c

Propriedades dos Logaritmos
Também como conseqüência da Denição (6.1) temos as seguintes propriedades para os logaritmos (a, b, c ∈ R∗ , a = 1 e n ∈ R):
(i) logaritmo do produto (é a soma dos logaritmos):

loga (bc) = loga (b) + loga (c);

(6.2)

(ii) logaritmo do quociente (é a diferença dos logaritmos):

loga

b c = loga (b) − loga (c);
20

(6.3)

(iii) logaritmo da potência (é a potência vezes o logaritmo):

loga (bn ) = n loga (b);

(6.4)

aloga (b) = b;

(6.5)

(iv) exponencial do logaritmo de mesma base:
(v) Mudança de base

loga (b) =

logc (b) logc (a)

(6.6)

6.2 Problemas Propostos
Problema 6.1 Calcule os logaritmos
(a) log2 (32)

(d) log5 (0, 0016)

(g) log√8 (0.125)

(b) log5 (625)

(e) log10 (0, 00001)

(h) log2√2 (256)

(c) log9 (243)

(f ) log1/3 (81)

(i) log2/√3 (9/16)

Problema 6.2 Avalie as expressões.
(a) log5 (1) + 4log4 (5) + log3 (log5 (125))

(b) 49log 7 (2) − 25log 5 (3)

Problema 6.3 Sabendo-se que log (a) = 2, log (b) = 3 e log (c) = −6, calcule
(a) log (ab)

(c) log

ab