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LIMITES
O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos: achar as áreas de regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um “processo de limite” para sua solução. Entretanto, o processo de limites ocorre em muitas outras aplicações, sendo o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados (Anton, 2000).
Para iniciarmos o estudo de limites, analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...............
1 2 3 4 5
(2) , , , , , ...............
2 3 4 5 6
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ...............
3
5
7
(4) 1, , 3, , 5, , 7 ..........
2
4
6
1 1 1 1
(5) , , ,
, ..............
5 10 15 20
Na sucessão (1), os termos tornam−se cada vez maiores sem atingir um limite.
Dado um número real, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão um termo maior. Dizemos então que os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota−se x → +∞.
Na sucessão (2) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números se aproximam cada vez mais de 1, sem nunca atingirem este valor. Dizemos que x → 1.
De maneira análoga na sucessão (3), x → - ∞.
Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite e em (5), os termos diminuem e dizemos que x → 0.

1 − Limite de uma função
O uso básico de limites é para descrever como uma função se comporta quando a variável independente x tende a um dado valor. Por exemplo, examinemos o comportamento da função f(x) = 2x + 4 próximo ao ponto x = 1: y aproximação pelo lado direito de x = 1 (ou x → 1+)
6

x f(x) 1

x
−

aproximação pelo lado esquerdo de x = 1 (ou x → 1 )

x f(x) Isto nos leva a seguinte idéia geral:

Seja L o valor da função f(x) no ponto x = a. Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de a, mas não necessariamente igual a a, então podemos escrever ou f(x) → L