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Exame de Ingresso na P´os-gradua¸c˜ao
Instituto de F´ısica - UFF
Profissional - 09 de Dezembro de 2008
Resolva 6 (seis) quest˜oes, com pelo menos uma quest˜ao de cada uma das se¸c˜oes. A dura¸c˜ao da prova ´e de 3 (trˆes) horas.

Mecˆ anica Cl´ assica g

a

1. Um cilindro homogˆeneo de massa m e raio a gira sem deslizar por um fio
INEXTENS´IVEL enquanto desce sob a a¸c˜ao da gravidade (ver figura).
Supondo que n˜ao existem perdas no sistema:
(a) Quantas coordenadas seriam, A PRINC´IPIO, necess´arias para descrever o movimento de um ponto qualquer do cilindro?
´ poss´ıvel reduzir este n´
(b) E umero de coordenadas usando algum tipo de rela¸c˜ao? Em caso afirmativo, efetue esta redu¸c˜ao.
(c) Construa uma lagrangiana L para este sistema.
(d) Utilizando as equa¸c˜oes de Lagrange, obtenha a equa¸ca˜o de movimento do sistema.
1

2. Considere o pˆendulo simples ilustrado na figura. Supondo que n˜ao h´a perdas, e adotando para zero de energia potencial gravitacional o n´ıvel indicado na figura, correspondente ao pˆendulo na posi¸c˜ao vertical:
O
g

θ

l

V=0

m

(a) Obtenha a seguinte express˜ao para uma lagrangiana do sistema
(use um sistema de coordenadas polares (r,θ) com origem em O, o ponto de suspens˜ao do pˆendulo):
L=

1 mℓ2 θ˙2 − mgl(1 − cos θ) .
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(b) Como este movimento ocorre em um plano, seriam necess´arias, a princ´ıpio, duas coordenadas para descreve-lo. No entanto, s´o a coordenada θ aparece em L. Qual o procedimento usado para eliminar a coordenada r ?
(c) A partir da lagrangiana obtida em (a), obtenha a hamiltoniana H do sistema, usando sua defini¸c˜ao.
(d) Obtenha as equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem no tempo para momento e coordenada, a partir das equa¸c˜oes canˆonicas de
Hamilton.
(e) Verifique, a partir do resultado de (c), que H = T + V .

2

Mecˆ anica Estat´ıstica
1. Num modelo cl´assico simples para as oscila¸c˜oes numa rede cristalina de um s´olido, consideramos um