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2ª Lista de Exercícios – Matrizes – Operações e Propriedades 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dadas
1
-3
2
1
4
1
0
2
1
-1
- 2
A=
2
1
-3
B=
2
1
1
1
C=
3
-2
-1
-1
4
-3
-1
1
-2
1
2
2
-5
-1
0
Mostre que AB = AC.
AB=
-3
-3
0
1
AC=
-3
-3
0
1
1
15
0
-5
1
15
0
-5
-3
15
0
-5
-3
15
0
-5
2. Explique por que, em geral, e
Solução. No caso das matrizes, já vimos que nem sempre há comutatividade na operação de multiplicação. Não podemos confundir a operação de multiplicação nos números reais, onde ab = ba. E no caso dos produtos notáveis, temos (a+b)2 = (a+b).(a+b) = (a2 + ab + ba + b2) e nesse caso ab + ba = 2ab. Na multiplicação de matrizes, A.B e B.A pode não ser 2AB, o mesmo acontecendo no caso da diferença de quadrados: ab – ba = 0 (reais), mas AB – BA pode não ser zero.
3. Dadas
2
-3
-5
-1
3
5
2
-2
-4
A=
-1
4
5
B=
1
-3
-5
C=
-1
3
4
1
-3
-4
-1
3
5
1
-2
-3
a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
AB=
0
0
0
BA= 0 0
0
AC= 2
-3
-5
CA=
2
-2
-4
0
0
0
0 0
0
-1
4
5
-1
3
4
0
0
0
0 0
0
1
-3
-4
1
-2
-3
b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2.
Solução.
i) Observamos que ACB = AB (pois AC=A) e AB=0. Da mesma forma CBA=CAB=AB=0. ii) Como AB = BA, podemos cancelá-los em : A2 + AB – BA – B2 = A2 – B2. iii) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Como AB = BA = 0, (A + B)2 = A2 + B2.
4. Se , ache B tal que B2 = A.
Solução. A matriz B é da forma:
B=
a b B2 = a b x a b = a2+ bc ab + bd
c d c d c d ac + cd bc + d2
Igualando os termos com a matriz A, temos:
a2 + bc = 3 (*) bc + d2 = 3. Logo a2 = d2 e a = + d.
Observamos ainda que:
ab + bd = -2 Substituindo a = d, temos 2bd