Lista de Exercicios Fundamentos da Matematica

Revis˜ao
[01] Mostre que se n ∈ N, ent˜ao 1 + 3 + 5 +···+ (2n−1) =n k=1 (2k −1) = n2
.
[02] Considere uma sequˆencia de n´umeros definida recursivamente pelas seguintes condi¸c˜oes: x0 = 1, x1 = 2, x2 =3e xk = xk−1 +xk−2 +xk−3, para todo k ≥ 3.
Mostre que xn ≤ 3n para todo n ≥ 0.
[03] (Sequˆencia de Luca) Defina a sequˆencia (an)n∈N como se segue: a1 = 1, a2 =3e ak = ak−1 +ak−2 para todo k ≥ 3. Use o segundo princ´ıpio da indu¸c˜ao para mostrar que an ≤ (7/4)n para todo n ≥ 1.
[04] Defina a sequˆencia (an)n∈N como se segue: a1 = 2, a2 =8e ak =4(ak−1−ak−2) para todo k ≥ 3.
Use o segundo princ´ıpio da indu¸c˜ao para mostrar que an = n2n para todo n ≥ 1.
[05] Seja a um n´umero real diferente de zero. Encontre o erro na seguinte “demonstra¸c˜ao” por indu¸c˜ao para o “fato” de que an = 1 para todo n ≥ 0:
Passo b´asico: a0 = 1. Passo indutivo: an+1 = an · an/an−1 = 1 · 1/1=1.
[06] Seja f : R → R uma fun¸c˜ao tal que f(x1 +x2) = f(x1) +f(x2) para todo x1, x2 ∈ R.
(a) Mostre que f(0) = 0.
(b) Mostre que f(n) = n f(1) para todo n ∈ N.
[07] (Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao) O Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao afirma que todo subconjunto X n˜ao-vazio do conjunto N dos n´umeros naturais possui um menor elemento.
(a) Usando o segundo princ´ıpio da indu¸c˜ao, demonstre que o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao ´e verdadeiro. Use como predicado: P(n): se n ∈ X, ent˜ao X possui um menor elemento.
(b) Assumindo o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao, demonstre que o Primeiro Princ´ıpio da Indu¸c˜ao
´e verdadeiro.
Dos Itens (a) e (b), conclu´ımos que o Princ´ıpio da Indu¸c˜ao e o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao s˜ao equivalentes. [08] Desenvolva a express˜ao (n i=1xi)2 e escreva sua resposta usando