Lista CDI Integrais de linha

Lista 4
Cálculo Vetorial I
Versão do 20-5-2014
Campos Vetorias, integrais de linha
1) Calcule a integral

∫C ( x+2y ) ds

2) Calcule a integral

∫C y 3 dx−x 3 dy

3) Calcule a integral

∫C

0.
4) Calcule a integral

, se C for a semicircunferência de raio 3.
(I = 36 u.a., Paula Ferreira)

, onde C é o círculo x²+ y²=4
(I = 0 u.a., Thiago Matheus Martins de Moraes) x2 y2 y 2 dx+ x 2 dy , onde C é a metade superior da elipse
+ =1 , a > 0, b> a2 b2
4 2
(I = − ab u.a.)
3

∫C (x+ y) ds

, onde C é o segmento de reta de (0,1,0) a (1,0,0).
( I = √ 2 u.a., Pedro Vaz Marins Costa)

5) A força em um ponto (x,y,z) em três dimensões é dada por F(x,y,z) = y i+zj+xk. Ache o trabalho realizado por F(x,y,z) ao longo da cúbica x=t, y=t², z=t³ de (0,0,0) a (2,4,8).
(W = 412/15 J )
6) Seja F o campo quadrado inverso. Encontre o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula ao longo de um reta que une os pontos (1,2,0) e (2,4,0).
C √5
J )
(W =
10
7) Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x,y)=y²i-xyj ao se mover uma partícula ao longo π de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i+sin(t)j, 0≤t≤ 2 .
(W = -1J)

Independência do percurso
⃗
8) Se ⃗ ( x , y , z )= y²cos x ⃗ +(2ysinx+e2z ) ⃗
F
i j+2ye2z k mostre que F(x,y,z) é conservativo e ache seu potencial escalar f(x,y,z).
( f (x , y , z )= y²sinx + ye2z +C )
9) a) Determine se o campo vetorial ⃗ ( x , y )=(e x+ y +1)⃗ +e x + y ⃗ é ou não conservativo.
F
i j b) Determine o trabalho exercido para ir do ponto (1,0) até o ponto (1,1).
(W= e(e-1)) π π r i j ⃗
10) Dado co campo vetorial F ( x , y )=xy² ⃗ + x 2y ⃗ e a curva ⃗ =[t +sin( 2 t)] ⃗ +[t+ cos( 2 t)] ⃗ , i j
0≤t≤1.
a) Determine uma função f tal que ⃗ =∇ f .
F
⃗ ⋅dr .
⃗
b) Calcule ∫C F

( f (x , y )=

x²y²
+C , 2J , Sri Vyasa Puya Muniz Espada)
2

11) Mostre que ⃗ ( x , y )=( e x cos ( y )+ yz) ⃗ +( xz−e x sin ( y)) ⃗ xy +z) ⃗ é conservativo e encontre
F
i j+( k
2
z sua função