Lista 7 de calculo

´ lculo 1
089109 - Ca
´tima lista de exerc´ıcios
Se
Prof. Marcelo Jos´e Dias Nascimento

29 de abril de 2015

1. Seja f : R → R uma fun¸c˜ ao deriv´ avel at´e 2a ordem e g uma fun¸c˜ao definida por g(x) = f (e2x ).
Verifique que g (x) = 4e2x [f (e2x ) + e2x f (e2x )].
2. Seja α uma raiz da equa¸c˜ ao λ2 + aλ + b = 0 com a e b constantes. Se y = eαx , mostre que d2 y dy +a
+ by = 0 dx2 dx
3. Seja y = f (x) uma fun¸c˜ ao diferenci´ avel tal que, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f (x)) ´e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ao xy 3 + 2xy 2 + x = 4
Se f (1) = 1. Calcule f (1).
4. Calcule a derivada da fun¸c˜ ao √ cos x
√ . f (x) = ln
1 + sen x

5. Se y = ex cos x, mostre que d2 y dy −2
+ 2y = 0. dx2 dx
√
6. Calcule a derivada segunda de y = x 5 2x + 2.
7. Calcule a derivada de f (x) = 4 sec x + cossec x + ln( sen x).
Defini¸
c˜ ao Consideremos uma equa¸ca˜o nas vari´aveis x e y. Dizemos que uma fun¸c˜ao y = f (x)
´e dada implicitamente por tal equa¸ca˜o se, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f (x)) for solu¸c˜ao da equa¸c˜ao. 8. Considere a equa¸c˜ ao y 2 + xy − 1 = 0.
(a) Determine uma fun¸c˜ ao que seja dada implicitamente pela equa¸c˜ao (1). dy (b) Mostre que (2y + x) dx
+ y = 0.

1

(1)

9. A fun¸c˜ao y = f (x), y

0, ´e dada implicitamente pela equa¸c˜ao x2 + y 2 = 81.

(a) Determine f (x). dy = 0 para todo x ∈ Df .
(b) Mostre que x + y dx

(c) Calcule

dy dx .

10. Seja f (x) = x3 − x + 3.
(a) Determine a equa¸c˜ ao da reta r tangente ao gr´afico de f no ponto de abscissa 0.
(b) Determine a equa¸c˜ ao da reta s normal ao gr´afico de f no ponto de abscissa 0.
(c) Esboce, num mesmo desenho, os gr´aficos de f , r e s.
11. Determine uma reta que seja paralela `a reta x + y = 1 e que seja tangente `a curva x2 + xy + y 2 = 3.
12. Supondo que y = f (x) seja uma fun¸c˜ao real deriv´avel e que satisfaz a equa¸c˜ao xy 2 + y + x = 1, podemos afirmar que:
(a)f (x) =

−f (x)
2xf (x) − 1

(d)f (x) =

−1 + [f (x)]2
2xf (x) + 1

(b)f (x) =

−1 − [f (x)]2
2xf (x) + 1

(c)f (x) =

−[f (x)]2
2xf (x)