Lista 4 De CID III

Exerc´ıcios de C´ alculo III
´
Lista IV: Comprimento de arco; Area de superf´ıcies de revolu¸ c˜ ao; Volume de s´ olidos de revolu¸c˜ ao. Prof. William Labecca

Comprimento de Arco
Ex.1: Calcular o comprimento de arco da curva x = 3y 3/2 − 1, de y = 0 a y = 4.
Ex.2: Achar o comprimento de arco de y =

x4
8

+

1
4x2 ,

de x = 1 a x = 4.

Ex.3: Determinar o comprimento de arco de 24xy = x4 + 48, de x = 2 a x = 4.
Ex.4: Determine o comprimento de arco da curva dada pelas equa¸c˜ oes: x = t2 ,
3
y = t , com t variando de 0 a 4.
Ex.5: Calcular o comprimento de arco da curva fechada dada por x = a cos θ, y = a sin θ.
Ex.6: Calcule o comprimento de arco da cicl´ oide: x = θ − sin θ, y = 1 − cos θ, notando que o arco ´e descrito quando θ percorre todo o ciclo trigonom´etrico.
Ex.7:√ Ache o comprimento de arco da fun¸c˜ ao y = ln x, com x variando de 1 at´e 2 2.
Ex.8: Determine o comprimento de arco da par´ abola y 2 = 12x limitado pela corda focal m´ınima.

1

´
Area
de Superf´ıcies de Revolu¸ c˜ ao
Ex.9: Achar a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ ao da par´ abola y 2 = 12x em torno do eixo x, quando x percorre de 0 at´e 3.
Ex.10: Calcular a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ ao, em torno do eixo y, do arco da fun¸c˜ ao x = y 3 , desde y = 0 at´e y = 1.
Ex.11: Determine a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ ao, em torno do eixo x, do arco de y 2 + 4x = 2 ln y, de y = 1 a y = 3.
Ex.12: Achar a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ ao de um la¸co da curva
8a2 y 2 = a2 x2 − x4 , em torno do eixo x.
Ex.13: Determinar a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸ca
˜o da elipse descrita
2
2 pela equa¸ca
˜o x16 + y4 = 1, em torno do eixo x.
Ex.14: Dada a equa¸c˜ ao da cardi´ oide: x = 2cosθ − cos(2θ), y = 2sinθ − sin(2θ), calcule a ´ area da superf´ıcie gerada pela revolu¸c˜ ao dessa curva em torno de Ox.
Nos exerc´ıcios 15 a 18, calcule as ´ areas das superf´ıcies geradas pela revolu¸ c˜ ao em torno do eixo x, de cada uma das seguintes curvas: