lista 2

1 Módulo ou valor absoluto 1
1.1 Generalidades 1
1.2 Conseqüências importantes 2
1.3 Exercícios resolvidos 2
1.4 Exercícios Propostos 3
2 Função Modular 4
2.1 Gráfico 5
3 Equação Modular 6
4 Inequação Modular 6
4.1 Exercícios resolvidos 8

1 Módulo ou valor absoluto
"O valor positivo do número real, desprezando-se o sinal. Escreve-se  x. Por exemplo:  3 = 3;  -4 = 4, e  0 = 0".
Genericamente, podemos dizer que o módulo de um número real, é o número sem o seu sinal. Assim, o módulo de -7 é 7, o módulo de -5 é 5, ... , etc.
Para representar o módulo de um número real a , usamos a notação  a , que lê-se módulo de a. Podemos dizer que módulo é a operação de apagar o sinal, conforme pode-se perceber nos exemplos acima.
1.1 Generalidades
Seja x um número real qualquer. Das considerações do item acima, seria correto dizer que  x = x ?. Claro que não! Senão vejamos: Suponha x = -3; teremos:  -3 = 3 = -(-3) = - x. Portanto para x negativo, vale a igualdade  x = -x.
Não se esqueça do fato que se x é negativo, então -x é positivo.
Somente para x positivo ou nulo é que vale a igualdade  x = x.
Das considerações acima podemos concluir que o módulo ou valor absoluto de um número real qualquer é sempre positivo ou nulo. Lembre-se que  0 = 0.
Fica fácil portanto, entender a definição genérica de módulo de um número real apresentada a seguir:
Dado um número real x, definimos módulo de |x|, ou valor absoluto de x como:

O significado destas sentenças é:
i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número. ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.
Exemplos:
a) Seja y =  x - 3
Para x = 3, temos x – 3 = 0 e portanto  y = 0
Para x  3, temos x – 3  0 e portanto  y = x –3
Para x  3, temos x – 3  0 e portanto  y = - (x – 3) = -x + 3 = 3 – x

b) Seja y =  2 - x
Para x = 2, temos 2 – x = 0 e portanto  y = 0
Para x  2, temos 2 – x  0 e portanto  y = - (2 – x) = -2 + x = x – 2
Para