lista 2 resoluo

2ª lista de Exercícios - Álgebra Linear
Resolução

1. Verifique se os produtos abaixo estão bem definidos e, em caso afirmativo, calcule-os.
a) b) c) d)
Solução.
a) A ordem da primeira matriz é 1x3 e a da segunda é 3x1, logo o produto está bem definido e terá ordem 1x1: = [1.2 + 1/3.(-1/2) + (-2).2] = [-13/6]
b) A ordem da primeira matriz é 3x1 e a da segunda é 1x3, logo o produto está bem definido e terá ordem 3x3:

=

c) A ordem da primeira matriz é 2x1 e a da segunda é 2x2, logo o produto matricial não está definido, pois o número de colunas da primeira não coincide com o número de linhas da segunda.

d) A ordem da primeira matriz é 2x2 e a da segunda é 2x1, logo o produto matricial está bem definido e terá ordem 2x1. =

2. Uma matriz quadrada A se diz simétrica se e anti-simétrica se .

(a) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes anti-simétricas.
(b) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é também uma matriz simétrica? Justifique sua resposta.
Solução.
(a) Sejam A e B duas matrizes simétricas. Desse modo AT = A e BT = B.
(A + B)T = AT + BT = A + B, logo A + B é simétrica.
Analogamente, sejam A e B matrizes anti-simétricas de ordem n, isto é, AT = - A e BT = - B. Temos (A + B)T = AT + BT = - A + (- B) = - (A+B), logo A + B é uma matriz anti-simétrica de ordem n.

(b) Não. Lembre-se que para mostrar que uma propriedade não é válida, basta exibir um contra exemplo. Assim, considere as seguintes matrizes simétricas: e . O produto delas resulta em que não é simétrica.
3. Determine números reais a e b para que a matriz seja simétrica.
Solução.
Para que A seja simétrica, devemos ter A = AT.
AT = . Assim, igualando A e AT: = . Daí, ou .

4.
a) Verifique que as matrizes da forma X =satisfazem a igualdade X2 = I, onde I é a matriz identidade de ordem 2. Dizemos que as matrizes da forma X são raízes quadradas da matriz identidade I.
b) Determine todas as raízes