Lista 1

Primeira Lista de Cálculo 3
1. Dados a = ki + 2j e b = 3i − kj, encontre um k tal que (a) a e b sejam ortogonais, (b) a e b sejam paralelos, (c) a e b estejam em direções opostas. 2. Encontre o ângulo (em graus) entre o vetor v = i + 2j + 3k e os vetores (a) a = i + j − k e (b) b = 2i + 3j − 1k. 3. Quais são os dois vetores unitários ortogonais à a = 3i + 2j? 4. Seja a = i + αj + βk, b = αi + βj + k e c = 2i + 0j − βk, encontre os valores de α e β que fazem com que o produto vetorial triplo a × (b × c) seja paralelo à c. 5. Calcule o tamanho da projeção de a = 3i + 2j sobre o vetor b = i − 2j + k 6. Seja r(t) o vetor posição de um objeto no tempo t. Suponha que a força agindo sobre este objeto seja,
F(t) = − c r(t)
3 r(t),

em que c é uma constante. Calcule a derivada dL/dt do momento angular L(t) = r(t) × mv(t), em que m é a massa do objeto e v(t) a sua velocidade. 7. Encontre T, N, B, κ e τ como função de t para a curva r(t) = sin ti + 2 cos tj + sin tk. 8. Encontre T, N, B, κ e τ como função de t para a curva r(t) = ti + t2 j + t3 k. 9. Ache a equação da curva de nível de f (x, y) = y arctan x que contém o ponto P (1, 4). 10. Esboce o gráco de curvas de nível da função f (x, y) = 11. Calcule o limite abaixo 12. Dada a função f (x, y) = lim |xy| . √

x4 − (y − 1)4 · (x,y)→(0,1) x2 + (y − 1)2 4x2 − y 2 , 2x − y

determine (a) O domínio de f . (b) O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua. (c) Quais descontinuidades são removíveis (aquelas em que o limite existe). 13. Calcule o limite y 2 − 4y + 3 · (x,y,z)→(2,3,1) x2 z(y − 3) lim

14. Use coordenadas polares para calcular o limite xy 2 · (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

15. Dadas as funções f (x, y) = x2 − y 2 e g(t) = (t2 − 4)/t, determine os pontos para os quais a função h(x, y) = g(f (x, y)) é contínua. 16. Mostre que o limite não existe:
2x2 − y 2 . (x,y)→(0,0) x2 + 2y 2 lim