Lista 1 Conjuntos

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica

´
Algebra
1 - Turma B – 2o/2015
1a Lista de Exerc´ıcios – Conjuntos
Prof. Jos´e Antˆonio O. Freitas
Exerc´ıcio 1: Em cada um dos seguintes itens, determine se a afirma¸ca˜o ´e verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, exiba um exemplo mostrando que a afirma¸c˜ao ´e falsa.
a) Se x P A e A Ď B, ent˜ao x P B.
b) Se A Ć B e B Ă C, ent˜ao A Ć C.
c) Se A Ć B e B Ć C, ent˜ao A Ć C.
d) Se x P A e A Ć B, ent˜ao x R B.
e) Se A Ă B e x R B, ent˜ao x R A.
Exerc´ıcio 2: Demonstre que:
a) Se A Ď B e C Ď D, ent˜ao A X C Ď B X D.
b) Se A Ď B e C “ B ´ A, ent˜ao A “ B ´ C.
c) Se A X B “ H e A Y B “ C, ent˜ao A “ C ´ B.
d) Se A Y B “ E, ent˜ao CE pAq Ď B.
e) Se A X B “ H, ent˜ao A Y CE pBq “ CE pBq.
Exerc´ıcio 3: Demonstre:
a) A “ B se, e somente se, A ´ B “ B ´ A;
b) A Ď B se, e somente se, A ´ B “ H;
c) A Y B “ H se, e somente se, A “ H e B “ H;
d) A Y B “ A X B se, e somente se, A “ B;
e) CE pAq Ď CE pBq se, e somente se, A Y B “ A;
f) CE pAq Ď CE pBq se, e somente se, A X B “ B;
g) A Ď B se, e somente se, A X B “ A.
Exerc´ıcio 4: Demonstre as seguintes igualdades.
a) A Y pCE pAq X Bq “ A Y B;

b) A X pCE pAq Y Bq “ A X B;
c) pA ´ Bq ´ C “ A ´ pB Y Cq;
d) A Y pB ´ Cq “ pA Y Bq ´ pC ´ Aq;
e) A X pB ´ Cq “ pA X Bq ´ pA X Cq;
f) A ´ pB Y Cq “ pA ´ Bq X pA ´ Cq;
g) A ´ pB X Cq “ pA ´ Bq Y pA ´ Cq;
h) pA Y Bq ´ C “ pA ´ Cq Y pB ´ Cq;
i) pA X Bq ´ C “ pA ´ Cq X pB ´ Cq;
j) pA X Bq X pA ´ Bq “ pA ´ Bq X pB ´ Aq “ H;
k) pA ´ Bq Y pB ´ Aq “ pA Y Bq ´ pA X Bq;
l) A ´ pA ´ Bq “ A X B;
m) pA ´ Bq ´ B “ A ´ B;
n) A Y pB X pA Y Cqq “ A Y pB X Cq;
o) CE pA X pB Y Cqq “ CE pAq Y pCE pBq X CE pCqq.
p) CE pA X B X Cq “ CE pAq Y CE pBq Y CE pCq.
q) CE pA Y B Y Cq “ CE pAq X CE pBq X CE pCq.