Linha elástica

12.5 Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e x2. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante.

Solução: Reações de apoio: ∑ M z( B) = 0 ⇒ VA × L − P(L − a ) − Pa = 0 ∴ VA = P
= 0 ⇒VA + VB − P − P = 0 ∴ VB = P Vamos encontrar as equações de momento fletor: M 1 = Px ⇒ 0 ≤ x ≤ a y ∑F

M 2 = Px − P( x − a ) ⇒ a ≤ x ≤ (L − a ) M 3 = Px − P( x − a ) − P( x − L + a ) ⇒ (L − a ) ≤ x ≤ L Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): E I y1 ' ' ( x ) = − Px ⇒ 0 ≤ x ≤ a E I y 2 ' ' ( x ) = −Px + P( x − a ) ⇒ a ≤ x ≤ (L − a ) E I y 3 ' ' ( x ) = − Px + P( x − a ) + P( x − L + a ) ⇒ (L − a ) ≤ x ≤ L E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: x2 E I y1 ' ( x ) = − P + C1 ⇒ 0 ≤ x ≤ a 2 x2 (x − a) 2 E I y 2 ' ( x) = −P +P + C 2 ⇒ a ≤ x ≤ (L − a ) 2 2 x2 (x − a) 2 (x − L + a) 2 E I y 3 ' (x ) = −P +P +P + C 3 ⇒ (L − a ) ≤ x ≤ L 2 2 2 Segunda integração: x3 E I y1 ( x ) = −P + C1 x + C 4 ⇒ 0 ≤ x ≤ a 6 x3 (x − a ) 3 E I y 2 ( x ) = −P +P + C 2 x + C 5 ⇒ a ≤ x ≤ (L − a ) 6 6 x3 (x − a)3 (x − L + a ) 3 E I y 3 ( x) = −P +P +P + C 3 x + C 6 ⇒ (L − a ) ≤ x ≤ L 6 6 6

As condições de contorno para a viga são: y'1 (a ) = y' 2 (a ) ⇒ C1 = C 2 y 1 ( a ) = y 2 (a ) ⇒ C 4 = C 5 y' 2 ( L − a ) = y' 3 ( L − a ) ⇒ C 2 = C 3 y 2 (L − a ) = y 3 (L − a ) ⇒ C 5 = C 6 y ( 0) = 0 ⇒ E I y 1 ( 0) = C 4 ⇒ C 4 = 0 ⇒ C 5 = 0 ⇒ C 6 = 0

y ( L) = 0 ∴ C3 =

⇒ E I y 3 ( L) = − P

(L − a ) 3 (L − L + a ) 3 L3 +P +P + C3L = 0 ⇒ 6 6 6

Pa (L − a ) 2 Pa Pa ∴ C1 = (L − a ) ∴ C 2 = (L − a ) 2 2 Então, as inclinações são: x 2 Pa E I y1 ' ( x ) = − P + (L − a ) ⇒ 0 ≤ x ≤ a 2 2 x2 ( x − a ) 2 Pa E I y 2 ' ( x ) = −P +P + (L − a ) ⇒ a ≤ x ≤ (L − a ) 2 2 2 x2 (x − a) 2 ( x − L + a ) 2 Pa E I y 3 ' ( x ) = −P +P +P + (L − a ) ⇒ (L − a ) ≤ x ≤ L 2 2 2 2 E as deflexões são: x 3 Pa E I y1 ( x ) = −P + (L − a ) x ⇒ 0 ≤ x ≤ a 6 2 x3 ( x − a ) 3 Pa E I y 2 ( x ) = −P +P +